Em um secador de grãos contracorrente, a corrente de ar úmido que deixa a seção de resfriamento ( 1800 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, 38^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo seco e 34^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo úmido) é misturada com ar ambiente ( 1750 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, 16^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo seco e 13^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo úmido) antes que a mistura seja direcionada ao queimador. Determine as propriedades psicrométricas da mistura antes de chegar ao queimador. (2,5 Pts)

Passo 1

O enunciado dá duas correntes de ar que serão misturadas. Vou listar TUDO que temos, para não nos perder:
  • Corrente 1 (ar que sai da seção de resfriamento):
    • Vazão volumétrica V_1 = 1800\\ \mathrm{m^3/h}.
    • Temperatura de bulbo seco T_{db,1}=38^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de bulbo úmido T_{wb,1}=34^\circ\mathrm{C}.
  • Corrente 2 (ar ambiente):
    • Vazão volumétrica V_2 = 1750\\ \mathrm{m^3/h}.
    • Temperatura de bulbo seco T_{db,2}=16^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de bulbo úmido T_{wb,2}=13^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica (assumo padrão): p = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
O que o problema pede: “Determine as propriedades psicrométricas da mistura antes de chegar ao queimador.” Ou seja, quero as propriedades do ar misturado (pelo menos: temperatura de bulbo seco da mistura, temperatura de bulbo úmido da mistura, razão de mistura / fração de vapor \omega, umidade relativa, entalpia específica por kg de ar seco, ponto de orvalho, e volume específico). Listei as informações iniciais; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Plano de ação (sem cálculos ainda, só para deixar claro a sequência):
  1. A partir das temperaturas de bulbo úmido e bulbo seco de cada corrente, calcular a pressão parcial de vapor p_{v} em cada corrente (usando a equação de Tetens para pressão de saturação e a relação psicrométrica entre T_{wb} e p_v).
  2. Calcular a razão de mistura (umidade absoluta) \omega de cada corrente a partir de p_v.
  3. Calcular a entalpia específica da mistura de cada corrente (por kg de ar seco).
  4. Converter as vazões volumétricas dadas (em condições de cada corrente) em vazões de ar seco (kg/s) usando a equação dos gases ideais para a fração de ar seco.
  5. Fazer balanço de massa de ar seco e de massa de vapor para obter \omega da mistura e entalpia da mistura.
  6. A partir de \omega e entalpia específica da mistura, obter temperatura de bulbo seco da mistura (inversão da fórmula da entalpia).
  7. Calcular umidade relativa, temperatura de bulbo úmido da mistura (pela relação psicrométrica resolvida numericamente), ponto de orvalho e volume específico.
Agora vamos executar cada etapa, explicando fórmulas e constantes.

Passo 3

Constantes e fórmulas principais que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Fórmula de Tetens (pressão de saturação do vapor d’água em kPa):
    p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)
    onde T em ^\circ\mathrm{C}. Isso dá p_{ws} em \mathrm{kPa}.
  • Relação psicrométrica (aproximação prática para uma superfície úmida adiabática):
    p_v = p_{ws}(T_{wb}) - B\,(T_{db}-T_{wb}),
    onde
    B = \frac{c_{p,a}\,p}{0{,}622\,L_v}.
    Explicando cada termo:
    • p_v é a pressão parcial do vapor (kPa).
    • T_{wb} é temperatura de bulbo úmido ( ^\circ\mathrm{C}).
    • T_{db} é temperatura de bulbo seco ( ^\circ\mathrm{C}).
    • c_{p,a} é calor específico do ar seco (aprox. 1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
    • L_v é calor latente de vaporização da água (aprox. 2500\\ \mathrm{kJ/kg}).
    • p é pressão total (kPa).
      Essa fórmula é a forma prática que permite obter p_v a partir de T_{wb} e da diferença T_{db}-T_{wb}.
  • Relação entre razão de mistura (umidade absoluta) \omega e pressão parcial de vapor:
    \omega = 0{,}622\;\frac{p_v}{p-p_v}.
    Aqui \omega tem unidades \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.
  • Entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco:
    h = c_{p,a}\,T_{db} + \omega\left(L_v + c_{p,w}\,T_{db}\right),
    com c_{p,w}\approx 1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Equação dos gases ideais para a porção de ar seco (para obter massa de ar seco por m^3 de mistura):
    \rho_{da} = \frac{p_d\cdot10^3}{R_d\,T_K},
    onde p_d=p-p_v (kPa), T_K=T_{db}+273{,}15 (K), R_d=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. O fator 10^3 converte kPa para Pa. Isso nos dá a massa de ar seco por \mathrm{m^3} de ar úmido na condição dada.
  • Para calcular temperatura de bulbo úmido da mistura, usarei a mesma relação psicrométrica (resolverei numericamente por tentativa).
Vou usar os seguintes valores numéricos constantes:
c_{p,a}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad c_{p,w}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad L_v=2500\\ \mathrm{kJ/kg},\quad p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a constante B que aparece na relação psicrométrica:
B=\frac{c_{p,a}\,p}{0{,}622\,L_v}.
Substituindo (com p em kPa, c_{p,a} e L_v em kJ/kg):
B=\frac{1{,}006\cdot 101{,}325}{0{,}622\cdot 2500}=0{,}0656\\ \mathrm{kPa/^\circ C}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Cálculo para a Corrente 1 (dados: T_{db,1}=38^\circ\mathrm{C},\\ T_{wb,1}=34^\circ\mathrm{C}).
  1. Saturação a T_{wb,1}=34^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(34)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 34}{34+237{,}3}\right)=5{,}310\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox.}).
  1. Usando a relação psicrométrica:
p_{v,1}=p_{ws}(34)-B\,(T_{db,1}-T_{wb,1})=5{,}310-0{,}0656\cdot(38-34)=5{,}048\\ \mathrm{kPa}.
  1. Razão de mistura \omega_1:
\omega_1 = 0{,}622\;\frac{p_{v,1}}{p-p_{v,1}}=0{,}622\frac{5{,}048}{101{,}325-5{,}048}=0{,}03262\\ \mathrm{kg/kg}.
  1. Entalpia específica por kg de ar seco:
h_1 = 1{,}006\cdot 38 + 0{,}03262\left(2500 + 1{,}86\cdot 38\right)=122{,}06\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Cálculo para a Corrente 2 (dados: T_{db,2}=16^\circ\mathrm{C},\\ T_{wb,2}=13^\circ\mathrm{C}).
  1. Saturação a T_{wb,2}=13^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(13)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 13}{13+237{,}3}\right)=1{,}498\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox.}).
  1. Relação psicrométrica:
p_{v,2}=p_{ws}(13)-B\,(T_{db,2}-T_{wb,2})=1{,}498-0{,}0656\cdot(16-13)=1{,}301\\ \mathrm{kPa}.
  1. Razão de mistura \omega_2:
\omega_2 = 0{,}622\;\frac{p_{v,2}}{p-p_{v,2}}=0{,}622\frac{1{,}301}{101{,}325-1{,}301}=0{,}00809\\ \mathrm{kg/kg}.
  1. Entalpia específica por kg de ar seco:
h_2 = 1{,}006\cdot 16 + 0{,}00809\left(2500 + 1{,}86\cdot 16\right)=36{,}576\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Converter vazões volumétricas em vazões de ar seco (kg/s). Primeiro transformo V para \mathrm{m^3/s}:
V_1 = \frac{1800}{3600}=0{,}5\\ \mathrm{m^3/s},\qquad V_2=\frac{1750}{3600}=0{,}48611\\ \mathrm{m^3/s}.
Para cada corrente calculo p_d=p-p_v, temperatura em K, e a massa de ar seco por m^3:
\rho_{da}=\frac{p_d\cdot 10^3}{R_d\,T_K},\qquad R_d=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Corrente 1:
T_{1K}=38+273{,}15=311{,}15\\ \mathrm{K},\qquad p_{d,1}=101{,}325-5{,}048=96{,}277\\ \mathrm{kPa}.
\rho_{da,1}=\frac{96{,}277\cdot 10^3}{287{,}05\cdot 311{,}15}=1{,}0773\\ \mathrm{kg/m^3}.
Logo vazão de ar seco:
\dot{m}_{da,1}=V_1\cdot\rho_{da,1}=0{,}5\cdot 1{,}0773=0{,}53865\\ \mathrm{kg/s}.
Massa de vapor na corrente 1:
\dot{m}_{v,1}=\dot{m}_{da,1}\cdot\omega_1=0{,}53865\cdot 0{,}03262=0{,}01757\\ \mathrm{kg/s}.
Corrente 2:
T_{2K}=16+273{,}15=289{,}15\\ \mathrm{K},\qquad p_{d,2}=101{,}325-1{,}301=100{,}024\\ \mathrm{kPa}.
\rho_{da,2}=\frac{100{,}024\cdot 10^3}{287{,}05\cdot 289{,}15}=1{,}2049\\ \mathrm{kg/m^3}.
\dot{m}_{da,2}=V_2\cdot\rho_{da,2}=0{,}48611\cdot 1{,}2049=0{,}58686\\ \mathrm{kg/s}.
Massa de vapor na corrente 2:
\dot{m}_{v,2}=\dot{m}_{da,2}\cdot\omega_2=0{,}58686\cdot 0{,}00809=0{,}00475\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Balanço de massas (ar seco e vapor) para a mistura.
  • Massa de ar seco total:
\dot{m}_{da,tot}=\dot{m}_{da,1}+\dot{m}_{da,2}=0{,}53865+0{,}58686=1{,}12551\\ \mathrm{kg/s}.
  • Massa de vapor total:
\dot{m}_{v,tot}=\dot{m}_{v,1}+\dot{m}_{v,2}=0{,}01757+0{,}00475=0{,}02232\\ \mathrm{kg/s}.
  • Razão de mistura da mistura ( \omega_{mix}):
\omega_{mix}=\frac{\dot{m}_{v,tot}}{\dot{m}_{da,tot}}=\frac{0{,}02232}{1{,}12551}=0{,}01983\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 9

Energia (entalpia) da mistura: balanço de energia por kg de ar seco (método fluxos de massa).
Enerlhalpia total (fluxo) das correntes:
\dot{H}_1=\dot{m}_{da,1}\cdot h_1,\qquad \dot{H}_2=\dot{m}_{da,2}\cdot h_2.
Numericamente:
\dot{H}_1=0{,}53865\cdot 122{,}06=65{,}737\\ \mathrm{kJ/s},
\dot{H}_2=0{,}58686\cdot 36{,}576=21{,}467\\ \mathrm{kJ/s}.
Total:
\dot{H}_{tot}=87{,}204\\ \mathrm{kJ/s}.
Entalpia específica da mistura por kg de ar seco:
h_{mix}=\frac{\dot{H}_{tot}}{\dot{m}_{da,tot}}=\frac{87{,}204}{1{,}12551}=77{,}49\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 10

A partir de \omega_{mix} e h_{mix} obtenho a temperatura de bulbo seco da mistura invertendo a expressão da entalpia:
h_{mix}=c_{p,a}\,T_{db,mix} + \omega_{mix}\left(L_v + c_{p,w}\,T_{db,mix}\right).
Rearranjo:
T_{db,mix}=\frac{h_{mix}-\omega_{mix}\,L_v}{c_{p,a} + \omega_{mix}\,c_{p,w}}.
Substituindo números:
T_{db,mix}=\frac{77{,}49-0{,}01983\cdot 2500}{1{,}006 + 0{,}01983\cdot 1{,}86} =\frac{77{,}49-49{,}58}{1{,}006+0{,}0369} =\frac{27{,}91}{1{,}0429}=26{,}77^\circ\mathrm{C}.

Passo 11

Calcular pressão parcial de vapor da mistura a partir de \omega_{mix}:
p_{v,mix} = \frac{p\;\omega_{mix}}{0{,}622+\omega_{mix}} = \frac{101{,}325\cdot 0{,}01983}{0{,}622+0{,}01983}=3{,}131\\ \mathrm{kPa}.
Pressão de saturação à temperatura de bulbo seco da mistura ( T_{db,mix}=26{,}77^\circ\mathrm{C}):
p_{ws}(26{,}77)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 26{,}77}{26{,}77+237{,}3}\right)=3{,}522\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox.}).
Umidade relativa da mistura:
\phi_{mix}=\frac{p_{v,mix}}{p_{ws}(T_{db,mix})}=\frac{3{,}131}{3{,}522}=0{,}889=88{,}9\%.

Passo 12

Temperatura de bulbo úmido da mistura T_{wb,mix}: usar a mesma relação psicrométrica e resolver para T_{wb}:
p_{v,mix} = p_{ws}(T_{wb,mix}) - B\,(T_{db,mix}-T_{wb,mix}).
Precisamos achar T_{wb,mix} que satisfaça isso. Faço uma solução numérica por tentativa rápida (já expliquei a fórmula antes):
Testando valores próximos, encontra-se:
T_{wb,mix}\approx 25{,}33^\circ\mathrm{C}.
(este valor satisfaz a equação com os p_{v,mix} e B calculados; a convergência foi obtida por tentativa sucessiva).

Passo 13

Ponto de orvalho (dew point) da mistura: é a temperatura em que p_{ws}(T_{dp})=p_{v,mix}. Inversa da fórmula de Tetens:
T_{dp}=\frac{237{,}3\;\ln\!\left(\dfrac{p_{v,mix}}{0{,}61078}\right)}{17{,}27-\ln\!\left(\dfrac{p_{v,mix}}{0{,}61078}\right)}.
Com p_{v,mix}=3{,}131\\ \mathrm{kPa},
T_{dp}\approx 24{,}81^\circ\mathrm{C}.

Passo 14

Volume específico (por kg de ar seco) da mistura v_{mix}. Use a equação dos gases para o ar seco parcial:
v_{mix}=\frac{R_d\,T_{mix,K}}{p_{d,mix}\cdot 10^3}\quad\text{onde }p_{d,mix}=p-p_{v,mix}.
Calcule:
T_{mix,K}=26{,}77+273{,}15=299{,}92\\ \mathrm{K},\qquad p_{d,mix}=101{,}325-3{,}131=98{,}194\\ \mathrm{kPa}.
v_{mix}=\frac{287{,}05\cdot 299{,}92}{98{,}194\cdot 10^3}=0{,}877\\ \mathrm{m^3/kg\\ ar\\ seco}\\ (\text{aprox.}).

Passo 15

Recapitulando os valores calculados (arredondados de forma prática para apresentação final):
  • \omega_{mix}=0{,}01983\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
  • Entalpia específica h_{mix}=77{,}49\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
  • Temperatura de bulbo seco T_{db,mix}=26{,}77^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de bulbo úmido T_{wb,mix}\approx 25{,}33^\circ\mathrm{C}.
  • Umidade relativa \phi_{mix}=88{,}9\%.
  • Ponto de orvalho T_{dp}\approx 24{,}81^\circ\mathrm{C}.
  • Volume específico v_{mix}\approx 0{,}877\\ \mathrm{m^3/kg\\ ar\\ seco}.

Resposta

\omega_{mix}=0{,}01983\\ \mathrm{kg/kg}
h_{mix}=77{,}49\\ \mathrm{kJ/kg}
T_{db,mix}=26{,}77^\circ\mathrm{C}
T_{wb,mix}\approx 25{,}33^\circ\mathrm{C}
\phi_{mix}=88{,}9\%
T_{dp}\approx 24{,}81^\circ\mathrm{C}
v_{mix}\approx 0{,}877\\ \mathrm{m^3/kg}

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