Um equipamento, com massa m=45 \mathrm{~kg}, encontra-se montado sobre quatro isoladores de vibração em paralelo, onde cada isolador possui constante de rigidez k=2 \cdot 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m} e constante de amortecimento d=60 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}. Sabendo-se que a amplitude da resposta estacionária do equipamento é A_{p}=1.5 \mathrm{~mm}, quando o mesmo opera a uma velocidade de rotação de 1920 rpm (rotações por minuto), determine a amplitude da excitação correspondente, devido a um desbalanceamento do equipamento.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor forçado por uma força harmônica de amplitude F_0 e frequência \omega, onde a massa montada sobre quatro isoladores vibra com amplitude estacionária A_p. Os dados são:
m = 45\;\mathrm{kg}, \quad k_{\rm cada} = 2\times10^5\;\mathrm{N/m}, \quad d_{\rm cada} = 60\;\mathrm{N\,s/m},
A_p = 1{,}5\;\mathrm{mm}, \quad N = 1920\;\mathrm{rpm}.
O objetivo é achar a amplitude da força de excitação F_0. Vamos usar a fórmula da amplitude de resposta de um SDOF forçado:
A_p = \frac{F_0 / k_\mathrm{eq}}{\sqrt{\bigl(1 - r^2\bigr)^2 + \bigl(2\zeta\,r\bigr)^2}}
onde k_\mathrm{eq} e \zeta são, respectivamente, a rigidez equivalente e o fator de amortecimento adimensional, e r=\omega/\omega_n.

Passo 2

Calcular rigidez e amortecimento equivalentes (quatro isoladores em paralelo):
k_\mathrm{eq} = 4\,k_{\rm cada} = 4\cdot2\times10^5 = 8\times10^5\;\mathrm{N/m},
c_\mathrm{eq} = 4\,d_{\rm cada} = 4\cdot60 = 240\;\mathrm{N\,s/m}.

Passo 3

Determinar frequência natural \omega_n e fator de amortecimento \zeta:
\omega_n = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}} = \sqrt{\frac{8\times10^5}{45}} \approx 133{,}33\;\mathrm{rad/s},
\zeta = \frac{c_\mathrm{eq}}{2\,m\,\omega_n} = \frac{240}{2\cdot45\cdot133{,}33} \approx 0{,}02.

Passo 4

Converter a velocidade de rotação em rad/s e calcular razão r:
\omega = 2\pi\cdot\frac{1920}{60} = 2\pi\cdot32 \approx 201{,}06\;\mathrm{rad/s},
r = \frac{\omega}{\omega_n} \approx \frac{201{,}06}{133{,}33} \approx 1{,}5079.

Passo 5

Escrever o fator de ampliação dinâmica e isolar F_0:
H = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta\,r)^2}} \quad\Longrightarrow\quad A_p = \frac{F_0/k_\mathrm{eq}}{1/H} = \frac{F_0}{k_\mathrm{eq}}\;H.
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F_0 = k_\mathrm{eq}\,A_p \;\bigl/H\bigr.

Passo 6

Substituir valores (convertendo A_p para metros: 1{,}5\;\mathrm{mm}=0{,}0015\;\mathrm{m}):
H = \frac{1}{\sqrt{(1-1{,}5079^2)^2 + (2\cdot0{,}02\cdot1{,}5079)^2}} \approx 0{,}7837,
F_0 = \frac{8\times10^5 \times 0{,}0015}{0{,}7837} \approx 1{,}53\times10^3\;\mathrm{N}.

Resposta

A amplitude da força de excitação é aproximadamente
F_0 \approx 1{,}5\times10^3\;\mathrm{N}.

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