Considerando-se a equação de movimento modal a seguir, determine:
\ddot{y}+2 \zeta \omega_{n} \dot{y}+\omega_{n}^{2} y=\omega_{n}^{2} u
a) A função de resposta em frequência G(j \omega);
b) O valor máximo do módulo da função de resposta em frequência |G(j \omega)|;
c) O valor do módulo da função de resposta em frequência na ressonânica.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento modal
\ddot{y} + 2\,\zeta\,\omega_{n}\,\dot{y} + \omega_{n}^{2}\,y = \omega_{n}^{2}\,u
e pede a resposta em frequência G(j\omega)=Y(j\omega)/U(j\omega), o valor máximo de \bigl|G(j\omega)\bigr| e o valor de \bigl|G(j\omega)\bigr| em ressonância. Para isso usaremos a transformada de Laplace (substituindo s=j\omega) e depois analisaremos o módulo da função de transferência.

Passo 2

Tomando Laplace na equação homogênea com condição nula, obtemos
s^{2}Y(s) + 2\,\zeta\,\omega_{n}\,s\,Y(s) + \omega_{n}^{2}Y(s) = \omega_{n}^{2}U(s).
Isolando a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s), vem
G(s) = \frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2} + 2\,\zeta\,\omega_{n}\,s + \omega_{n}^{2}}.
Substituindo s = j\omega, a resposta em frequência é
G(j\omega) = \frac{\omega_{n}^{2}}{-\omega^{2} + j\,2\,\zeta\,\omega_{n}\,\omega + \omega_{n}^{2}} = \frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{n}^{2} - \omega^{2} + j\,2\,\zeta\,\omega_{n}\,\omega}.

Passo 3

O módulo de G(j\omega) é
\bigl|G(j\omega)\bigr| = \frac{\omega_{n}^{2}}{\sqrt{\bigl(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}\bigr)^{2} + \bigl(2\,\zeta\,\omega_{n}\,\omega\bigr)^{2}}}.

Passo 4

Para encontrar o valor máximo de \bigl|G(j\omega)\bigr| em função de \omega, diferenciamos o quadrado do módulo em relação a \omega e igualamos a zero. Isso leva à frequência de pico (ressonância dinâmica)
\omega_{r} = \omega_{n}\,\sqrt{1 - 2\,\zeta^{2}},
válida quando \zeta < 1/\sqrt{2}. Substituindo \omega = \omega_{r} no módulo, obtemos o pico
\bigl|G(j\omega_{r})\bigr| = \frac{1}{2\,\zeta\,\sqrt{1 - \zeta^{2}}} \quad\text{(para \(\zeta<1/\sqrt{2}\)).}
Se \zeta \ge 1/\sqrt{2}, não há pico interno e o máximo ocorre em \omega=0, valendo
\bigl|G(j0)\bigr| = 1.

Passo 5

O valor de \bigl|G(j\omega)\bigr| exatamente em ressonância do sistema linear, isto é, em \omega=\omega_{n}, é
\bigl|G(j\omega_{n})\bigr| = \frac{\omega_{n}^{2}}{\sqrt{(\omega_{n}^{2}-\omega_{n}^{2})^{2} + (2\,\zeta\,\omega_{n}\,\omega_{n})^{2}}} = \frac{\omega_{n}^{2}}{2\,\zeta\,\omega_{n}^{2}} = \frac{1}{2\,\zeta}.

Resposta

a)
G(j\omega) = \frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{n}^{2} - \omega^{2} + j\,2\,\zeta\,\omega_{n}\,\omega}.
b)
\max_{\omega}\bigl|G(j\omega)\bigr| = \begin{cases} \dfrac{1}{2\,\zeta\,\sqrt{1 - \zeta^{2}}}, & \zeta < \tfrac{1}{\sqrt{2}},\\[1em] 1, & \zeta \ge \tfrac{1}{\sqrt{2}}. \end{cases}
c)
\bigl|G(j\omega_{n})\bigr| = \frac{1}{2\,\zeta}.]

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