Considerando-se a equação de movimento modal a seguir, determine:
\ddot{y}+2 \zeta \omega_{n} \dot{y}+\omega_{n}^{2} y=\omega_{n}^{2} u
a) A função de resposta em frequência G(j \omega);
b) O valor máximo do módulo da função de resposta em frequência |G(j \omega)|;
c) O valor do módulo da função de resposta em frequência na ressonânica.
e pede a resposta em frequência G(j\omega)=Y(j\omega)/U(j\omega), o valor máximo de \bigl|G(j\omega)\bigr| e o valor de \bigl|G(j\omega)\bigr| em ressonância. Para isso usaremos a transformada de Laplace (substituindo s=j\omega) e depois analisaremos o módulo da função de transferência.
Passo 2
Tomando Laplace na equação homogênea com condição nula, obtemos
Para encontrar o valor máximo de \bigl|G(j\omega)\bigr| em função de \omega, diferenciamos o quadrado do módulo em relação a \omega e igualamos a zero. Isso leva à frequência de pico (ressonância dinâmica)
\omega_{r} = \omega_{n}\,\sqrt{1 - 2\,\zeta^{2}},
válida quando \zeta < 1/\sqrt{2}. Substituindo \omega = \omega_{r} no módulo, obtemos o pico