***** Determine a amplitude, a constante de fase e o fator de amplificação (valor da função de resposta em frequência) da resposta estacionária de um sistema do tipo massa-mola-amortecedor, com massa m=2 \mathrm{~kg}, constante de amortecimento d=10 \mathrm{Ns} / \mathrm{m} e constante de rigidez k=1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, submetido a um carregamento senoidal de amplitude 10 N e frequência de 10 Hz .

Passo 1

O problema fala de um sistema massa–mola–amortecedor com massa m=2,kg, amortecimento d=10,Ns/m e rigidez k=1000,N/m, submetido a uma força senoidal
F(t)=F_{0}\sin(\omega t)
com F_{0}=10,N e frequência f=10,Hz ( \omega=2\pi f).
Queremos a resposta estacionária x(t)=X\sin(\omega t+\varphi), onde:
X é a amplitude da oscilação,
\varphi é o deslocamento de fase,
– o “fator de amplificação” é o módulo da função de resposta em frequência
H(j\omega)=\frac{X}{F_{0}} = \frac{1}{\,k - m\omega^{2} + j\,d\,\omega\,}\,.

Passo 2

Escrevendo o módulo de H(j\omega) e a fase associada, temos
|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{(k - m\omega^{2})^{2} + (d\,\omega)^{2}}}
\varphi = \arg\bigl(H(j\omega)\bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{\Im\{H\}}{\Re\{H\}}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{-\,d\,\omega}{\,k - m\omega^{2}}\Bigr)\,.
A amplitude da resposta é
X = F_{0}\,|H(j\omega)|\,.

Passo 3

Calculemos primeiro \omega e alguns termos auxiliares:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 10 \approx 62{,}832\\ \text{rad/s},
k - m\omega^{2} = 1000 - 2\,(62{,}832)^{2} \approx 1000 - 7895{,}68 = -6895{,}68\\ \text{(N/m)},
d\,\omega = 10 \times 62{,}832 = 628{,}32\\ \text{(Ns/m)}.

Passo 4

Agora o módulo do denominador de H:
D = \sqrt{(-6895{,}68)^{2} + (628{,}32)^{2}} \approx \sqrt{4{,}7543\times 10^{7} + 3{,}9483\times 10^{5}} \approx 6924{,}6\,.
Logo
|H(j\omega)| = \frac{1}{D} \approx \frac{1}{6924{,}6} = 0{,}0001445\\ \bigl(\tfrac{\mathrm m}{\mathrm N}\bigr).

Passo 5

A amplitude da resposta é
X = F_{0}\,|H(j\omega)| = 10 \times 0{,}0001445 = 0{,}001445\\ \mathrm m \approx 1{,}445\\ \mathrm{mm}.
O fator de amplificação (módulo da FRF) vale
|H(j\omega)| \approx 0{,}0001445\\ \tfrac{\mathrm m}{\mathrm N}.
Se quisermos um fator adimensional relativo ao deslocamento estático X_{\mathrm{est}}=F_{0}/k=0{,}01,m, então
\frac{X}{X_{\mathrm{est}}} = \frac{0{,}001445}{0{,}01} \approx 0{,}1445\quad(\text{sem dimensão}).ã

Passo 6

Para a fase, usando
\varphi = \arctan\!\Bigl(\frac{-\,d\,\omega}{\,k - m\omega^{2}}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{-\,628{,}32}{-\,6895{,}68}\Bigr) =\arctan(0{,}09116) \approx 0{,}091\\ \text{rad} \approx 5{,}21^\circ.
Este valor corresponde ao ângulo na representação x(t)=X\sin(\omega t+\varphi).

Resposta

Amplitude da resposta estacionária:
X \approx 0{,}001445\\ \mathrm m \;(1{,}445\\ \mathrm{mm}).
Constante de fase:
\varphi \approx 0{,}091\\ \mathrm{rad}\;(5{,}21^\circ).
Fator de amplificação (módulo da FRF):
|H(j\omega)| \approx 0{,}0001445\\ \tfrac{\mathrm m}{\mathrm N} \quad(\text{ou adimensional }0{,}1445 \text{ relativo a }F_{0}/k).

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