Uma máquina de massa m=25 \mathrm{~kg} é colocada sobre uma base elástica. Quando uma força senoidal de magnitude F=25 \mathrm{~N} foi aplicada à máquina, observou-se que a amplitude máxima da oscilação em regime estacionário foi de A_{\max }=1,3 \mathrm{~mm} e o período da resposta foi T=0,22 \mathrm{~s}. Determine a razão de amortecimento e a rigidez equivalente do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força senoidal F(t)=F\sin(\Omega t), com m=25,kg, F=25,N. Em regime estacionário, encontrou-se a amplitude máxima de oscilação A_{\max}=1{,}3,mm e o período correspondente T=0,22,s. O conteúdo é resposta em frequência de um sistema SDOF amortecido; vamos usar:
– relação entre frequência de pico \omega_p e frequência natural \omega_n:
\omega_p=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},
– expressão da amplitude máxima em ressonância:
A_{\max}=\frac{F_0/k}{2\,\zeta\sqrt{1-\zeta^2}},
once \zeta é a razão de amortecimento, k é a rigidez equivalente e \omega_n^2=k/m.

Passo 2

Calcular a pulsação de pico \omega_p a partir do período T:
\omega_p=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,22}\approx28{,}56\text{ rad/s}.

Passo 3

Expressar a rigidez em função de \omega_p e \zeta. Como \omega_n^2=k/m e \omega_p=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}, temos
\omega_n^2=\frac{\omega_p^2}{1-2\zeta^2} \quad\Longrightarrow\quad k=m\,\frac{\omega_p^2}{1-2\zeta^2}.

Passo 4

Escrever a expressão de A_{\max} substituindo k:
A_{\max} =\frac{F}{k}\,\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} =\frac{F\,(1-2\zeta^2)}{m\,\omega_p^2}\,\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}.
Multiplicando ambos os lados e reorganizando, obtemos a equação em \zeta:
2\,m\,\omega_p^2\,A_{\max}\,\zeta\sqrt{1-\zeta^2} =F\,(1-2\zeta^2).

Passo 5

Elevar ao quadrado para resolver em closed-form: com números
2\,m\,\omega_p^2\,A_{\max}\approx53{,}02, \quad F=25,
chega-se ao polinômio em y=\zeta^2:
y^2 - y + 0{,}1178 = 0,
cujas raízes são y_1\approx0{,}8636 e y_2\approx0{,}1364. Como precisamos de \omega_p real em \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}, escolhemos
\zeta^2=0{,}1364 \quad\Longrightarrow\quad \zeta\approx0{,}369.

Passo 6

Calcular a rigidez k substituindo \zeta em k=m\,\omega_p^2/(1-2\zeta^2):
1-2\zeta^2=1-2(0{,}1364)=0{,}7272,
k=25\cdot\frac{(28{,}56)^2}{0{,}7272}\approx2{,}80\times10^4\text{ N/m}.

Resposta

\displaystyle \zeta\approx0,369 \displaystyle k\approx2,80\times10^4\text{ N/m}

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