Um equipamento possui superficie a 85^{\circ} \mathrm{C}. Pretende-se utilizar aletas piniformes para aumentar a taxa de transferência de calor. O ar ambiente está a 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 8 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A aleta será cilíndrica, de cobre, com diâmetro de 0,5 \mathrm{~cm}. Ao todo são 26 aletas de 3 cm de comprimento cada. Avalie a transferência de calor nas aletas, a eficiência e a efetividade. A área da base é de 0,0047 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado quer estimar a transferência de calor por aletas cilíndricas de cobre fixas numa superfície a 85^\circ\mathrm{C} imersa em ar a 25^\circ\mathrm{C}, com coeficiente convectivo h=8~\mathrm{W/m^2K}. Cada aleta tem diâmetro d=0,5~\mathrm{cm} e comprimento L=3~\mathrm{cm}, são N=26 aletas, e a área da base sem aletas é A_{\mathrm{base}}=0,0047~\mathrm{m^2}. Para resolver, usaremos a teoria de aletas de seção constante assumindo ponta isolada e condutividade do cobre \,k=400~\mathrm{W/mK}.

Passo 2

Calculamos a seção transversal e o perímetro da aleta cilíndrica:
A_c = \frac{\pi d^2}{4}
P = \pi d
Substituindo d=0,005~\mathrm{m}:
A_c = \frac{\pi\,(0,005)^2}{4} \approx 1{,}96\times10^{-5}~\mathrm{m^2},
P = \pi\cdot0{,}005 \approx 0{,}0157~\mathrm{m}.

Passo 3

Definimos o parâmetro
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}}
e calculamos
m = \sqrt{\frac{8\cdot0{,}0157}{400\cdot1{,}96\times10^{-5}}}\approx4{,}0~\mathrm{m^{-1}}.
Então
mL = 4{,}0\cdot0{,}03 = 0{,}12,
\operatorname{tanh}(mL)\approx\operatorname{tanh}(0{,}12)\approx0{,}1194.

Passo 4

A transferência de calor por uma única aleta com ponta isolada é
q_{\mathrm{fin}} = \sqrt{h\,P\,k\,A_c}\,\Delta T\,\operatorname{tanh}(mL),
onde \Delta T = T_{\mathrm{base}}-T_\infty = 85-25 = 60~\mathrm{K}. Calculando
\sqrt{h\,P\,k\,A_c} =\sqrt{8\cdot0{,}0157\cdot400\cdot1{,}96\times10^{-5}} \approx0{,}03142,
q_{\mathrm{fin}} = 0{,}03142\cdot60\cdot0{,}1194 \approx0{,}225~\mathrm{W}.

Passo 5

A transferência total pelas N=26 aletas é
Q_{\mathrm{fins}} = N\,q_{\mathrm{fin}} =26\cdot0{,}225 \approx5{,}85~\mathrm{W}.

Passo 6

A eficiência de uma aleta é a razão entre o calor real e o calor ideal (superfície total da aleta adiabática):
\eta_{\mathrm{fin}} =\frac{q_{\mathrm{fin}}}{h\,A_{\mathrm{fin}}\,\Delta T},
com A_{\mathrm{fin}}=P\,L + \pi d^2/4 \approx0{,}0004909~\mathrm{m^2}. Assim
h\,A_{\mathrm{fin}}\,\Delta T =8\cdot0{,}0004909\cdot60 \approx0{,}2357~\mathrm{W},
\eta_{\mathrm{fin}} = \frac{0{,}225}{0{,}2357}\approx0{,}95\;\;(95{,}3\%).

Passo 7

A efetividade das aletas (relação entre o calor total com aletas e sem aletas) é
\varepsilon =\frac{Q_{\mathrm{fins}}}{h\,A_{\mathrm{base}}\,\Delta T}.
Sem aletas teríamos
Q_{\mathrm{no\\ fins}} =8\cdot0{,}0047\cdot60 \approx2{,}256~\mathrm{W},
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\varepsilon = \frac{5{,}85}{2{,}256}\approx2{,}59.

Resposta

Q_{\mathrm{fins}}\approx5{,}85~\mathrm{W}
\eta_{\mathrm{fin}}\approx95{,}3\%
\varepsilon\approx2{,}59

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