Determinar a emissividade total de uma superfície a 2000 K onde a emissividade espectral obedece ao seguinte comportamento:
\left\{\begin{array}{lll} \lambda<1 \mu \mathrm{~m} & \Rightarrow & \varepsilon_{\lambda}=0,9 \\\ \lambda>1 \mu \mathrm{~m} & \Rightarrow & \varepsilon_{\lambda}=0,2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a emissividade total de uma superfície a T=2000\\ \mathrm{K} cuja emissividade espectral é
\varepsilon_\lambda = \begin{cases} 0{,}9, & \lambda < 1\\ \mu\mathrm{m},\\\\ 0{,}2, & \lambda > 1\\ \mu\mathrm{m}. \end{cases}
O conteúdo envolvido é radiação térmica de corpo negro e definição de emissividade total. Vamos usar que
\varepsilon_{\text{tot}} \;=\; \frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty}\varepsilon_\lambda\,E_{\lambda}^{\text{cb}}\,\mathrm{d}\lambda}{\displaystyle\int_{0}^{\infty}E_{\lambda}^{\text{cb}}\,\mathrm{d}\lambda} \;=\;\frac{P_{\text{emitido}}}{\sigma\,T^{4}}.

Passo 2

Separamos a integral em duas faixas \lambda<\lambda_c e \lambda>\lambda_c, onde \lambda_c=1\\ \mu\mathrm{m}:
\int_{0}^{\infty}\varepsilon_\lambda\,E_{\lambda}^{\text{cb}}\mathrm{d}\lambda =0{,}9\int_{0}^{\lambda_c}E_{\lambda}^{\text{cb}}\mathrm{d}\lambda +0{,}2\int_{\lambda_c}^{\infty}E_{\lambda}^{\text{cb}}\mathrm{d}\lambda.
Definindo as frações de energia do corpo negro
f_1=\frac{\displaystyle\int_{0}^{\lambda_c}E_{\lambda}^{\text{cb}}\mathrm{d}\lambda} {\displaystyle\int_{0}^{\infty}E_{\lambda}^{\text{cb}}\mathrm{d}\lambda}, \quad f_2=1-f_1,
temos
\varepsilon_{\text{tot}} =0{,}9\,f_1+0{,}2\,f_2.

Passo 3

Para calcular f_1 fazemos a mudança de variável
u=\frac{c_{2}}{\lambda\,T},\quad c_{2}=\frac{h\,c}{k}\approx0{,}0143878\\ \mathrm{m\cdot K},
de modo que
\int_{0}^{\lambda_c}E_{\lambda}^{\text{cb}}\mathrm{d}\lambda \;\propto\;\int_{u_c}^{\infty}\frac{u^{3}}{e^{u}-1}\,\mathrm{d}u, \quad u_c=\frac{c_{2}}{\lambda_c\,T} =\frac{0{,}0143878}{(1\times10^{-6})\cdot2000} \approx7{,}194.
O denominador é
\displaystyle\int_{0}^{\infty}E_{\lambda}^{\text{cb}}\mathrm{d}\lambda\propto\int_{0}^{\infty}\frac{u^{3}}{e^{u}-1}\mathrm{d}u=\frac{\pi^{4}}{15}\approx6{,}4939.

Passo 4

Como u_c\approx7{,}194 é grande, usamos a aproximação de Wien para o “tail”:
\int_{u_c}^{\infty}\frac{u^{3}}{e^{u}-1}\,\mathrm{d}u \approx\int_{u_c}^{\infty}u^{3}e^{-u}\,\mathrm{d}u =e^{-u_c}\bigl(u_c^{3}+3u_c^{2}+6u_c+6\bigr).
Calculamos
e^{-u_c}\approx e^{-7{,}194}\approx7{,}51\times10^{-4},
u_c^{3}+3u_c^{2}+6u_c+6 \approx373{,}2+155{,}3+43{,}2+6=577{,}7,
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\int_{u_c}^{\infty}\frac{u^{3}}{e^{u}-1}\,\mathrm{d}u \approx7{,}51\times10^{-4}\times577{,}7\approx0{,}435.
Assim
f_{1} = \frac{0{,}435}{6{,}4939}\approx0{,}0670, \quad f_{2}=1-0{,}0670=0{,}9330.

Passo 5

Finalmente
\varepsilon_{\text{tot}} =0{,}9\cdot0{,}0670+0{,}2\cdot0{,}9330 =0{,}0603+0{,}1866 \approx0{,}2469.

Resposta

A emissividade total da superfície a 2000\\ \mathrm{K} é aproximadamente
\boxed{0{,}247}.

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