Uma equipe de campo dispõe de dois tipos de equipamentos de apoio,
(veículos utilitários) e
(drones de inspeção). A efetividade operacional em cada turno é avaliada pelo melhor entre os dois recursos disponíveis, pois a equipe se reorganiza para usar intensamente o que estiver mais abundante:
com preços unitários
e orçamento
(isto é,
).
(a) Mostre que as preferências não são convexas.
(b) Resolva o problema do consumidor (
) para preços gerais (
) e orçamento
.
(c) Discuta a possibilidade de múltiplos ótimos quando
e as implicações para estabilidade da escolha.
(d) Esboce graficamente as curvas de indiferença em “V” e indique a solução em canto.
(a) Mostre que as preferências não são convexas.
(b) Resolva o problema do consumidor (
(c) Discuta a possibilidade de múltiplos ótimos quando
(d) Esboce graficamente as curvas de indiferença em “V” e indique a solução em canto.
Passo 1
O enunciado fornece:
- A função utilidade
. - Preços unitários
e orçamento com restrição orçamentária . - Variáveis não-negativas:
.
O que é pedido:
(a) Mostrar que as preferências geradas por não são convexas.
(b) Resolver o problema do consumidor, isto é, achar que maximizam
sujeito à restrição orçamentária, para preços gerais
e orçamento
.
(c) Discutir possibilidade de múltiplos ótimos quando e implicações sobre estabilidade da escolha.
(d) Esboçar graficamente as curvas de indiferença em “V” e indicar que a solução é de canto.
(a) Mostrar que as preferências geradas por
(b) Resolver o problema do consumidor, isto é, achar
(c) Discutir possibilidade de múltiplos ótimos quando
(d) Esboçar graficamente as curvas de indiferença em “V” e indicar que a solução é de canto.
Passo 2
Entendendo as curvas de indiferença e convexidade (explicação didática):
- A curva de indiferença de nível
é o conjunto de todos os pacotes tais que . - Como
, a condição equivale a dizer que pelo menos uma das coordenadas é igual a e a outra é menor ou igual a . Logo:
- Geometricamente, para cada
a indiferença forma um “L” (um “V” com o vértice em voltado para dentro do primeiro quadrante). Essa forma já dá pista sobre convexidade: curvas em “L” têm cantos e não são suaves.
Definição prática de preferências convexas:
- Preferências são convexas se, para quaisquer dois pacotes
e com e , qualquer combinação convexa (com ) também tem . Intuitivamente, mistura de dois pacotes não deve ser pior do que os originais.
Passo 3
Contraexemplo simples que prova não convexidade (parte (a)):
- Considere
fixo. Tome os dois pontos da mesma curva de indiferença : -
tem . -
tem .
-
- A média (combinação convexa com
) é
- Avaliando a utilidade em
:
- Conclusão: a mistura de dois pacotes indiferentes tem utilidade estritamente menor, portanto as preferências NÃO são convexas. Isso resolve (a).
Passo 4
Preparação para resolver o problema do consumidor (parte (b)) — ideia e desigualdades úteis:
- O consumidor quer maximizar
sujeito a e . - Observação simples e poderosa: da restrição orçamentária segue, isoladamente,
pois
implica
(e análogo para
).
- Portanto, para qualquer pacote factível,
- Ou seja, o máximo possível de utilidade que qualquer pacote pode alcançar é
. Se esse valor for alcançável por algum pacote factível, esse pacote é ótimo.
Passo 5
Encontrando o(s) ótimo(s) (parte (b), continuação) — casos por comparação de preços:
- Caso 1:
. - Então
. - Gastando todo o orçamento no bem
(ou seja, escolhendo ) obtemos que atinge o limite superior. Assim é ótimo. - Nenhum outro pacote pode ter utilidade maior por causa da desigualdade do passo anterior; portanto esse ótimo é único (até diferenças em pacotes que também atinjam exatamente
, ver abaixo — mas aqui só esse canto atinge a igualdade).
- Então
- Caso 2:
. - Simétrico: o ótimo é
.
- Simétrico: o ótimo é
- Caso 3:
. - Neste caso
. - Qualquer pacote satisfazendo
e é factível se (ou seja, ). - A utilidade máxima possível continua sendo
. Para obter é necessário que . Dado e , isso só ocorre quando um dos e o outro é . - Portanto, quando
existem dois ótimos extremos: e . Não há ótimos interiores com ambos positivos porque então .
- Neste caso
- Resumo do resultado (b): a estratégia ótima é gastar todo o orçamento no bem mais barato (em termos de preço unitário). Se os preços são iguais, ambos os cantos onde todo o orçamento é gasto em apenas um bem são ótimos.
Passo 6
Explicação intutiva e uma prova curta e direta (completa) do que foi feito:
- Para qualquer solução factível
tem-se e . Assim
- Gastando todo o orçamento no bem que minimiza
atinge-se o valor . Logo, esse gasto único dá um ótimo global. Isso é direto, simples e suficiente para concluir (b).
Passo 7
Discussão sobre múltiplos ótimos e estabilidade (parte (c)) — interpretação econômica e dinâmica:
- Quando
há normalmente um único ótimo de canto: todo orçamento no bem mais barato; a demanda é única e robusta. - Quando
há múltiplos ótimos discretos: exatamente os dois cantos e . O consumidor é indiferente entre esses dois extremos, mas NÃO indiferente a misturas não-extremas (misturas reduzem a utilidade). - Implicação para estabilidade: preferência não convexa + multiplicidade gera instabilidade da escolha. Um pequeno choque de preços (por exemplo
diminui um pouco) faz com que a solução salte de um canto para outro — isso é uma mudança discreta na demanda (não suave). Portanto a demanda pode ser muito sensível a pequenas variações nos preços: não há garantia de continuidade da função demanda no ponto de empate . - Em termos práticos: o consumidor tem “tendência a concentrar” gasto num único recurso — comportamento de tudo-ou-nada — o que causa saltos quando os preços se alteram.
Passo 8
Desenho e interpretação gráfica (parte (d)) — como construir o gráfico e localizar a solução:
- No plano com eixo horizontal
e vertical , as curvas de indiferença de nível são um “L” formado por: - o segmento horizontal de
até (parte com ), - o segmento vertical de
até (parte com ).
O vértice do “L” está em.
- o segmento horizontal de
- A restrição orçamentária é uma reta
, decrescente no plano e interceptando os eixos em e . - A solução corresponde a escolher o ponto da reta orçamentária que atinge a maior curva de indiferença possível. Devido à forma em “L” das curvas, o ponto de toque máximo sempre ocorre em um dos interceptos (cantos): ou
ou . Se ambos os interceptos estão sobre a mesma curva de indiferença máxima e ambos são soluções ótimas.
Resposta
(a) As preferências não são convexas.
(b) Se então
. Se
então
. Se
então os ótimos são os dois cantos
e
.
(c) Quando há múltiplos ótimos (os dois cantos); isso gera instabilidade da escolha porque um pequeno desvio nos preços faz a solução saltar para o canto correspondente ao bem agora mais barato.
(b) Se
(c) Quando