Uma equipe de campo dispõe de dois tipos de equipamentos de apoio, x_{1} (veículos utilitários) e x_{2} (drones de inspeção). A efetividade operacional em cada turno é avaliada pelo melhor entre os dois recursos disponíveis, pois a equipe se reorganiza para usar intensamente o que estiver mais abundante:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\max \left\{x_{1}, x_{2}\right\}
com preços unitários p_{1}, p_{2} e orçamento m (isto é, p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m ).
(a) Mostre que as preferências não são convexas.
(b) Resolva o problema do consumidor ( x_{1}^{*}, x_{2}^{*} ) para preços gerais ( p_{1}, p_{2} ) e orçamento m.
(c) Discuta a possibilidade de múltiplos ótimos quando p_{1}=p_{2} e as implicações para estabilidade da escolha.
(d) Esboce graficamente as curvas de indiferença em “V” e indique a solução em canto.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função utilidade U(x_{1},x_{2})=\max\{x_{1},x_{2}\}.
  • Preços unitários p_{1},p_{2} e orçamento m com restrição orçamentária p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
  • Variáveis não-negativas: x_{1}\ge 0,\;x_{2}\ge 0.
O que é pedido:
(a) Mostrar que as preferências geradas por U não são convexas.
(b) Resolver o problema do consumidor, isto é, achar (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) que maximizam U sujeito à restrição orçamentária, para preços gerais p_{1},p_{2} e orçamento m.
(c) Discutir possibilidade de múltiplos ótimos quando p_{1}=p_{2} e implicações sobre estabilidade da escolha.
(d) Esboçar graficamente as curvas de indiferença em “V” e indicar que a solução é de canto.

Passo 2

Entendendo as curvas de indiferença e convexidade (explicação didática):
  • A curva de indiferença de nível u é o conjunto de todos os pacotes (x_{1},x_{2}) tais que U(x_{1},x_{2})=u.
  • Como U(x_{1},x_{2})=\max\{x_{1},x_{2}\}, a condição U=u equivale a dizer que pelo menos uma das coordenadas é igual a u e a outra é menor ou igual a u. Logo:
\{(x_{1},x_{2})\mid U(x_{1},x_{2})=u\}=\{(u,x_{2})\mid 0\le x_{2}\le u\}\cup\{(x_{1},u)\mid 0\le x_{1}\le u\}.
  • Geometricamente, para cada u a indiferença forma um “L” (um “V” com o vértice em (u,u) voltado para dentro do primeiro quadrante). Essa forma já dá pista sobre convexidade: curvas em “L” têm cantos e não são suaves.
Definição prática de preferências convexas:
  • Preferências são convexas se, para quaisquer dois pacotes A e B com U(A)\ge u e U(B)\ge u, qualquer combinação convexa \lambda A+(1-\lambda)B (com 0<\lambda<1) também tem U\ge u. Intuitivamente, mistura de dois pacotes não deve ser pior do que os originais.

Passo 3

Contraexemplo simples que prova não convexidade (parte (a)):
  • Considere u>0 fixo. Tome os dois pontos da mesma curva de indiferença U=u:
    • A=(u,0) tem U(A)=\max\{u,0\}=u.
    • B=(0,u) tem U(B)=\max\{0,u\}=u.
  • A média (combinação convexa com \lambda=\tfrac{1}{2}) é
\bar{X}=\tfrac{1}{2}A+\tfrac{1}{2}B=\left(\tfrac{u}{2},\tfrac{u}{2}\right).
  • Avaliando a utilidade em \bar{X}:
U(\bar{X})=\max\{\tfrac{u}{2},\tfrac{u}{2}\}=\tfrac{u}{2}<u.
  • Conclusão: a mistura de dois pacotes indiferentes tem utilidade estritamente menor, portanto as preferências NÃO são convexas. Isso resolve (a).

Passo 4

Preparação para resolver o problema do consumidor (parte (b)) — ideia e desigualdades úteis:
  • O consumidor quer maximizar U(x_{1},x_{2})=\max\{x_{1},x_{2}\} sujeito a p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m e x_{1},x_{2}\ge 0.
  • Observação simples e poderosa: da restrição orçamentária segue, isoladamente,
x_{1}\le \frac{m}{p_{1}}\quad\text{e}\quad x_{2}\le \frac{m}{p_{2}},
pois p_{1}x_{1}\le m implica x_{1}\le m/p_{1} (e análogo para x_{2}).
  • Portanto, para qualquer pacote factível,
U(x_{1},x_{2})=\max\{x_{1},x_{2}\}\le \max\Big\{\frac{m}{p_{1}},\frac{m}{p_{2}}\Big\}.
  • Ou seja, o máximo possível de utilidade que qualquer pacote pode alcançar é \max\{m/p_{1},m/p_{2}\}. Se esse valor for alcançável por algum pacote factível, esse pacote é ótimo.

Passo 5

Encontrando o(s) ótimo(s) (parte (b), continuação) — casos por comparação de preços:
  • Caso 1: p_{1}<p_{2}.
    • Então \dfrac{m}{p_{1}}>\dfrac{m}{p_{2}}.
    • Gastando todo o orçamento no bem 1 (ou seja, escolhendo x_{1}=m/p_{1},\;x_{2}=0) obtemos U\Big(\frac{m}{p_{1}},0\Big)=\frac{m}{p_{1}}=\max\Big\{\frac{m}{p_{1}},\frac{m}{p_{2}}\Big\},que atinge o limite superior. Assim (x_{1}^{*},x_{2}^{*})=\big(\tfrac{m}{p_{1}},0\big) é ótimo.
    • Nenhum outro pacote pode ter utilidade maior por causa da desigualdade do passo anterior; portanto esse ótimo é único (até diferenças em pacotes que também atinjam exatamente m/p_{1}, ver abaixo — mas aqui só esse canto atinge a igualdade).
  • Caso 2: p_{2}<p_{1}.
    • Simétrico: o ótimo é (x_{1}^{*},x_{2}^{*})=\big(0,\tfrac{m}{p_{2}}\big).
  • Caso 3: p_{1}=p_{2}=p.
    • Neste caso \dfrac{m}{p_{1}}=\dfrac{m}{p_{2}}=\dfrac{m}{p}.
    • Qualquer pacote satisfazendo x_{1}\le m/p e x_{2}\le m/p é factível se p(x_{1}+x_{2})=m (ou seja, x_{1}+x_{2}=m/p).
    • A utilidade máxima possível continua sendo m/p. Para obter U(x_{1},x_{2})=m/p é necessário que \max\{x_{1},x_{2}\}=m/p. Dado x_{1}+x_{2}=m/p e x_{i}\ge 0, isso só ocorre quando um dos x_{i}=m/p e o outro é 0.
    • Portanto, quando p_{1}=p_{2} existem dois ótimos extremos: \big(\tfrac{m}{p},0\big) e \big(0,\tfrac{m}{p}\big). Não há ótimos interiores com ambos positivos porque então \max\{x_{1},x_{2}\}<m/p.
  • Resumo do resultado (b): a estratégia ótima é gastar todo o orçamento no bem mais barato (em termos de preço unitário). Se os preços são iguais, ambos os cantos onde todo o orçamento é gasto em apenas um bem são ótimos.

Passo 6

Explicação intutiva e uma prova curta e direta (completa) do que foi feito:
  • Para qualquer solução factível (x_{1},x_{2}) tem-se x_{1}\le m/p_{1} e x_{2}\le m/p_{2}. Assim
U(x_{1},x_{2})\le \max\Big\{\frac{m}{p_{1}},\frac{m}{p_{2}}\Big\}.
  • Gastando todo o orçamento no bem que minimiza p_{i} atinge-se o valor \max\{m/p_{1},m/p_{2}\}. Logo, esse gasto único dá um ótimo global. Isso é direto, simples e suficiente para concluir (b).

Passo 7

Discussão sobre múltiplos ótimos e estabilidade (parte (c)) — interpretação econômica e dinâmica:
  • Quando p_{1}\neq p_{2} há normalmente um único ótimo de canto: todo orçamento no bem mais barato; a demanda é única e robusta.
  • Quando p_{1}=p_{2} há múltiplos ótimos discretos: exatamente os dois cantos \big(\tfrac{m}{p},0\big) e \big(0,\tfrac{m}{p}\big). O consumidor é indiferente entre esses dois extremos, mas NÃO indiferente a misturas não-extremas (misturas reduzem a utilidade).
  • Implicação para estabilidade: preferência não convexa + multiplicidade gera instabilidade da escolha. Um pequeno choque de preços (por exemplo p_{1} diminui um pouco) faz com que a solução salte de um canto para outro — isso é uma mudança discreta na demanda (não suave). Portanto a demanda pode ser muito sensível a pequenas variações nos preços: não há garantia de continuidade da função demanda no ponto de empate p_{1}=p_{2}.
  • Em termos práticos: o consumidor tem “tendência a concentrar” gasto num único recurso — comportamento de tudo-ou-nada — o que causa saltos quando os preços se alteram.

Passo 8

Desenho e interpretação gráfica (parte (d)) — como construir o gráfico e localizar a solução:
  • No plano com eixo horizontal x_{1} e vertical x_{2}, as curvas de indiferença de nível u são um “L” formado por:
    • o segmento horizontal de (0,u) até (u,u) (parte com x_{2}=u,\;x_{1}\le u),
    • o segmento vertical de (u,0) até (u,u) (parte com x_{1}=u,\;x_{2}\le u).
      O vértice do “L” está em (u,u).
  • A restrição orçamentária é uma reta p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m, decrescente no plano e interceptando os eixos em \big(\tfrac{m}{p_{1}},0\big) e \big(0,\tfrac{m}{p_{2}}\big).
  • A solução corresponde a escolher o ponto da reta orçamentária que atinge a maior curva de indiferença possível. Devido à forma em “L” das curvas, o ponto de toque máximo sempre ocorre em um dos interceptos (cantos): ou \big(\tfrac{m}{p_{1}},0\big) ou \big(0,\tfrac{m}{p_{2}}\big). Se p_{1}=p_{2} ambos os interceptos estão sobre a mesma curva de indiferença máxima e ambos são soluções ótimas.

Resposta

(a) As preferências não são convexas.
(b) Se p_{1}<p_{2} então (x_{1}^{*},x_{2}^{*})=\big(\tfrac{m}{p_{1}},0\big). Se p_{2}<p_{1} então (x_{1}^{*},x_{2}^{*})=\big(0,\tfrac{m}{p_{2}}\big). Se p_{1}=p_{2}=p então os ótimos são os dois cantos \big(\tfrac{m}{p},0\big) e \big(0,\tfrac{m}{p}\big).
(c) Quando p_{1}=p_{2} há múltiplos ótimos (os dois cantos); isso gera instabilidade da escolha porque um pequeno desvio nos preços faz a solução saltar para o canto correspondente ao bem agora mais barato.

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