Um gerente de operações define metas de aquisição para
(kits de ferramentas calibradas) e
(horas de suporte técnico). A satisfação operacional apresenta saciedade local em
(uma vez atingido o kit completo, kits extras pouco agregam), descrita por:
sob a restrição
.
(a) Mostre matematicamente que há saciedade local em
.
(b) Resolva o problema do consumidor para diferentes faixas de
(quando é possível atingir
e quando não é).
(c) Discuta as implicações para a (não) monotonicidade global e para ótimos de canto.
(d) Represente graficamente a reta orçamentária e o ponto de saciedade, indicando o ótimo.
(a) Mostre matematicamente que há saciedade local em
(b) Resolva o problema do consumidor para diferentes faixas de
(c) Discuta as implicações para a (não) monotonicidade global e para ótimos de canto.
(d) Represente graficamente a reta orçamentária e o ponto de saciedade, indicando o ótimo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a função utilidade
e a restrição orçamentária
com
.
- O que se pede:
(a) mostrar matematicamente que há “saciedade local” em;
(b) resolver o problema do consumidor para diferentes faixas de(quando é possível atingir e quando não é);
(c) discutir implicações para a (não) monotonicidade global e para ótimos de canto;
(d) representar graficamente a reta orçamentária, o ponto de saciedade e indicar o ótimo.
Observações relevantes que extraí do enunciado:
- A utilidade tem uma parte quadrática em
e uma função logarítmica em . - A função é concava (verificaremos), portanto o problema de maximização é bem comportado (no sentido de unicidade do ótimo interior quando houver).
- "Atingir
" pode ter dois sentidos: (i) ser factível (ou seja, existir renda suficiente para comprar essa quantidade) e (ii) ser a solução ótima. O enunciado pede para tratar quando é possível atingir ; vou tratar ambos os sentidos ao longo da resolução.
Passo 2
Interpretar matematicamente a “saciedade local” e calcular derivadas parciais — a aula rápida de cálculo necessário.
- Derivadas parciais de
. Vou diferenciar em relação a cada bem; sempre escrevo o que significa cada símbolo:
-
é a utilidade marginal do bem (quanto a utilidade varia ao aumentar em uma unidade, mantendo fixo). -
é a utilidade marginal do bem .
Calculemos:
- Segundas derivadas (curvatura):
E como não há termo misto,
.
Conclusões imediatas (matemática):
-
em todo ponto: a utilidade é estritamente côncava em (diminuição da utilidade marginal de conforme cresce). -
e : utilidade marginal positiva e decrescente para .
Agora, sobre a expressão "saciedade local em
". Matematicamente:
- Uma “saciedade (bliss point) estrita” em
exigiria em (e normalmente ), i.e. ponto onde a utilidade não aumenta nem diminuiria por pequenas variações unilaterais. Aqui, avaliando:
Portanto, em sentido estrito
não é um ponto de bliss (não é ponto estacionário): a utilidade ainda aumenta se aumentarmos
a partir de 1 (mas aumenta com taxa decrescente, pois
).
Interpretação em linguagem de “saciedade local” usada no enunciado: o termo quer dizer que, ao redor de
, utilidade marginal já está decrescendo rapidamente — isto é mostrado por
. Assim, matematicamente mostramos que existe saciedade local no sentido de que a utilidade apresenta retorno marginal decrescente e o ganho adicional por uma unidade extra após
é cada vez menor; mas ressalto que o ponto onde a utilidade marginal zera (bliss em
) é
(pois
quando
). Vou anotar isto porque é útil para a resolução do problema do consumidor.
Resumo do que foi mostrado:
-
, . - Há diminuição da utilidade marginal de
(característica de “saciedade local” no sentido de retornos marginais decrescentes). - O ponto onde a derivada em
zera é , não . Em a utilidade ainda cresce, porém a taxa de crescimento está já diminuída.
Passo 3
Resolver o problema do consumidor por Lagrange — condição de otimalidade interior (igualização do MRS com a razão de preços) e expressão prática para as soluções.
Montamos o Lagrangiano:
onde
é o multiplicador de Lagrange (interpretação econômica: valor marginal da renda).
As condições de primeira ordem (assumindo interior, isto é
) são:
Da primeira e segunda equações obtemos
e eliminamos:
Isto implica a condição clássica de otimalidade (igualdade entre a taxa marginal de substituição e a razão de preços):
Desse modo,
Usando a restrição orçamentária
substituímos
:
Simplificando:
Dividindo por
e definindo
obtemos a equação que determina
no ótimo interior:
Multiplicando por
e rearranjando, obtemos uma quadrática:
A solução dessa equação é
Escolhemos a raiz que satisfaça
(lembrando que
e, para interior, normalmente
implica
). Para
(o que vale dado preços e renda não-negativos), a raiz com sinal menos (o sinal “−” antes da raiz) entrega a solução interior correta; a raiz com sinal mais é maior que
e não corresponde ao ponto interior viável. Assim:
E então
Esta é a solução interior (quando
e
). Note que, por concavidade global de
(Hessiano negativo definido), se existe solução interior ela é única global.
Passo 4
Condições de existência do ótimo interior e análise de cantos. Aqui eu explico como checar quando a solução interior é viável e quando o ótimo é canto.
Para decidir se o ótimo é interior ou de canto precisamos verificar sinais de
e
e também comparar utilidades nos cantos. Dois cantos naturais: (i) gastar tudo em
(ou seja
), o que dá
; (ii) gastar tudo em
(ou seja
), que dá
. Em problemas com duas variáveis podemos usar a condição marginal no canto para testar optimalidade:
- Teste se o canto
(comprar só ) é ótimo. Calcule a MRS no canto:
O canto
é ótimo se e somente se um pequeno movimento financiado em direção a
não aumenta utilidade. A condição matemática é
Logo
é ótimo se
Denotando
temos: se
então o ótimo é o canto
.
- Teste se o canto
(comprar só ) é ótimo. A MRS em vale
O canto
seria ótimo se
, isto é
Como o lado direito
costuma ser negativo para preços típicos positivos (e
), geralmente essa desigualdade falha e o canto
não é ótimo salvo casos muito específicos de preços (por exemplo
grande e
pequeno). Portanto, em quase todos os casos esperados o canto relevante é
quando o orçamento é muito pequeno.
- Se
, então o canto não satisfaz a condição MRS e o consumidor prefere algum ; portanto haverá solução interior com e dado pela fórmula do Passo 3.
Passo 5
Quando é possível atingir
(factibilidade e quando o ótimo coincide com
).
- Factibilidade simples: para que seja possível (factível) comprar
com basta ter (pois o mínimo gasto para ter é , deixando possivelmente ). Logo:
- Quando o ótimo é exatamente
? Use a condição de interior: substituir na relação que determinou :
Isto significa
Portanto, se houver solução interior e
, então o ótimo interior satisfaz
e, pela equação de MRS,
(esse
deve ser não-negativo para fazer sentido; se for negativo então
não seria interior viável).
Sintetizando:
- Se
: nem sequer é possível comprar . - Se
: é possível comprar (factível) mas o ótimo pode ainda ser canto com (se ). Em particular, para pequeno o ótimo não é salvo o caso especial que dá um de canto se gasta tudo em . - Se
: há solução interior; cresce com (monotonicidade explicada no próximo passo) e atinge o valor exatamente se . Para tem-se e para tem-se , na região onde existe solução interior.
Observação importante: os valores numéricos dos limiares dependem da relação entre
e
. Em particular,
pode ser menor ou maior que
dependendo se
é menor ou maior que
. Portanto há três regimes paramétricos possíveis; o que importa é o procedimento para checar qual caso ocorre para dados
.
Passo 6
Discussão sobre monotonicidade global, saciedade e ótimos de canto (interpretação econômica e ensino para prova).
- Monotonicidade global:
- A utilidade total não é monotônica em todos os argumentos de forma global no domínio irrestrito porque a componente quadrática em
é côncava e tem máximo unidimensional em (fixando ). Ou seja, se aumentarmos além de a utilidade decresce (pois torna-se negativa para ). Portanto não há monotonicidade global em . - Em
a utilidade é estritamente crescente (pois sempre), embora com retornos marginais decrescentes. Assim globalmente, é crescente em mas não em .
- Saciedade local e ótimos de canto:
- Existe saciedade (bliss point) parcial em
no sentido que a derivada zera em . Portanto, se o orçamento e preços permitirem, o consumidor não quer aumentar além de ; se o orçamento for grande ele tende a se aproximar de (no limite para , conforme a solução interior). - Ótimos de canto ocorrem quando a renda é pequena o suficiente (condição
do passo anterior) e aí o consumidor compra apenas (ou muito provavelmente apenas em vez de ). Isso é natural: com pouca renda a melhor utilidade adicional por dólar pode vir de dado seu perfil inicial. - Nota didática pequena para prova: para testar um canto, calcule a MRS no canto e compare com
(ou use a comparação de utilidades diretas). Se MRS no canto é maior ou igual à razão de preços, o canto com é ótimo; se for menor, há incentivo a deslocar-se para interior (comprar ).
Passo 7
Comportamento limite e interpretação econômica simples (dicas para prova).
- Quando
: o consumidor compra proporcionalmente pouco; se é muito pequeno e então o ótimo é gastar tudo em , , . - Quando
: pela forma da solução interior, tende para (o ponto onde ) e (porque a função logaritmo cresce sem limite — o consumidor aloca parte da renda para indefinidamente). Assim o agente nunca fica plenamente satisfeito com (sem bliss point em ), mas em existe uma atitude de saciedade (não convém ultrapassar ).
Passo 8
Como desenhar o gráfico pedido (resposta a (d)) — instruções práticas para a prova.
- Eixos: abscissa
, ordenada . - Reta orçamentária: desenhar a reta
com interceptos
-intercept
e
-intercept
.
- Ponto de “saciedade local” em
: marcar a vertical (ou o ponto se quiser o ponto sobre a reta). Explicar no gráfico que seria o ponto onde (bliss parcial em ). - Ótimo:
- Se
: ótimo é canto na interseção da reta orçamentária com o eixo : . - Se
: ótimo é o ponto tangencial entre uma curva de indiferença (nível de utilidade) e a reta orçamentária; a tangência satisfaz . No gráfico, trace uma curva de indiferença suave (curvas concavas) e desenhe a tangência no ponto calculado no Passo 3.
- Se
Dica prática para prova: desenhe dois casos (renda pequena e renda grande). Mostre explicitamente o canto com só
e o caso de tangência onde
. Marque também o ponto
e
para explicar saciedade local versus ponto onde
.
Resposta
(a)
e
. Logo a utilidade marginal de
decresce (saciedade local no sentido de retornos marginais decrescentes); note que
(portanto
não é ponto de bliss estrito; o ponto onde
é
).\n
(b) Solução interior (quando e
): defina
. Então
(b) Solução interior (quando
Canto
(gastar tudo em
) é ótimo se e somente se
neste caso
. O canto
raramente é ótimo (condição muito restritiva
). Quanto a atingir
: é factível sempre que
. O ótimo interior tem
exatamente quando
(desde que isso caia na região interior válida).\n
(c) Implicações: a utilidade não é monotônica globalmente em (pois
muda de sinal em
); há saciedade parcial em
. Ótimos de canto ocorrem para renda pequena (condição acima); para renda maior obtém-se tangência interior com
. Em particular, para orçamentos grandes
e
.\n
(d) Reta orçamentária: . No gráfico marque (i) o ponto
como referência ao redor de
, (ii) o ponto
(bliss parcial em
), e (iii) o ótimo que é ou o canto
se
ou o ponto de tangência
dado em (b) se
.
(c) Implicações: a utilidade não é monotônica globalmente em
(d) Reta orçamentária: