Um gerente de operações define metas de aquisição para x_{1} (kits de ferramentas calibradas) e x_{2} (horas de suporte técnico). A satisfação operacional apresenta saciedade local em x_{1} (uma vez atingido o kit completo, kits extras pouco agregam), descrita por:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}-\frac{1}{2}\left(x_{1}-1\right)^{2}+\ln \left(1+x_{2}\right), \quad x_{1}, x_{2} \geq 0
sob a restrição p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m.
(a) Mostre matematicamente que há saciedade local em x_{1}=1.
(b) Resolva o problema do consumidor para diferentes faixas de m (quando é possível atingir x_{1}=1 e quando não é).
(c) Discuta as implicações para a (não) monotonicidade global e para ótimos de canto.
(d) Represente graficamente a reta orçamentária e o ponto de saciedade, indicando o ótimo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função utilidade
U\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}-\tfrac{1}{2}\left(x_{1}-1\right)^{2}+\ln\left(1+x_{2}\right),\qquad x_{1},x_{2}\ge 0,
e a restrição orçamentária
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m,
com p_{1}>0,\;p_{2}>0,\;m\ge 0.
  • O que se pede:
    (a) mostrar matematicamente que há “saciedade local” em x_{1}=1;
    (b) resolver o problema do consumidor para diferentes faixas de m (quando é possível atingir x_{1}=1 e quando não é);
    (c) discutir implicações para a (não) monotonicidade global e para ótimos de canto;
    (d) representar graficamente a reta orçamentária, o ponto de saciedade e indicar o ótimo.
Observações relevantes que extraí do enunciado:
  • A utilidade tem uma parte quadrática em x_{1} e uma função logarítmica em x_{2}.
  • A função é concava (verificaremos), portanto o problema de maximização é bem comportado (no sentido de unicidade do ótimo interior quando houver).
  • "Atingir x_{1}=1" pode ter dois sentidos: (i) ser factível (ou seja, existir renda suficiente para comprar essa quantidade) e (ii) ser a solução ótima. O enunciado pede para tratar quando é possível atingir x_{1}=1; vou tratar ambos os sentidos ao longo da resolução.

Passo 2

Interpretar matematicamente a “saciedade local” e calcular derivadas parciais — a aula rápida de cálculo necessário.
  1. Derivadas parciais de U. Vou diferenciar em relação a cada bem; sempre escrevo o que significa cada símbolo:
  • U_{1}=\partial U/\partial x_{1} é a utilidade marginal do bem x_{1} (quanto a utilidade varia ao aumentar x_{1} em uma unidade, mantendo x_{2} fixo).
  • U_{2}=\partial U/\partial x_{2} é a utilidade marginal do bem x_{2}.
Calculemos:
U_{1}= \frac{\partial}{\partial x_{1}}\Bigl(x_{1}-\tfrac{1}{2}(x_{1}-1)^{2}\Bigr) =1-\bigl(x_{1}-1\bigr)=2-x_{1}.
U_{2}= \frac{\partial}{\partial x_{2}}\ln(1+x_{2})=\frac{1}{1+x_{2}}.
  1. Segundas derivadas (curvatura):
U_{11}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}(2-x_{1})=-1,\qquad U_{22}=\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(\frac{1}{1+x_{2}}\right)=-\frac{1}{(1+x_{2})^{2}}.
E como não há termo misto, U_{12}=U_{21}=0.
Conclusões imediatas (matemática):
  • U_{11}=-1<0 em todo ponto: a utilidade é estritamente côncava em x_{1} (diminuição da utilidade marginal de x_{1} conforme x_{1} cresce).
  • U_{2}>0 e U_{22}<0: utilidade marginal positiva e decrescente para x_{2}.
Agora, sobre a expressão "saciedade local em x_{1}=1". Matematicamente:
  • Uma “saciedade (bliss point) estrita” em x_{1} exigiria U_{1}=0 em x_{1}=1 (e normalmente U_{11}<0), i.e. ponto onde a utilidade não aumenta nem diminuiria por pequenas variações unilaterais. Aqui, avaliando:
U_{1}(1)=2-1=1>0.
Portanto, em sentido estrito x_{1}=1 não é um ponto de bliss (não é ponto estacionário): a utilidade ainda aumenta se aumentarmos x_{1} a partir de 1 (mas aumenta com taxa decrescente, pois U_{11}=-1).
Interpretação em linguagem de “saciedade local” usada no enunciado: o termo quer dizer que, ao redor de x_{1}=1, utilidade marginal já está decrescendo rapidamente — isto é mostrado por U_{11}=-1<0. Assim, matematicamente mostramos que existe saciedade local no sentido de que a utilidade apresenta retorno marginal decrescente e o ganho adicional por uma unidade extra após 1 é cada vez menor; mas ressalto que o ponto onde a utilidade marginal zera (bliss em x_{1}) é x_{1}=2 (pois U_{1}=0 quando x_{1}=2). Vou anotar isto porque é útil para a resolução do problema do consumidor.
Resumo do que foi mostrado:
  • U_{1}(x_{1},x_{2})=2-x_{1}, U_{11}=-1.
  • Há diminuição da utilidade marginal de x_{1} (característica de “saciedade local” no sentido de retornos marginais decrescentes).
  • O ponto onde a derivada em x_{1} zera é x_{1}=2, não 1. Em x_{1}=1 a utilidade ainda cresce, porém a taxa de crescimento está já diminuída.

Passo 3

Resolver o problema do consumidor por Lagrange — condição de otimalidade interior (igualização do MRS com a razão de preços) e expressão prática para as soluções.
Montamos o Lagrangiano:
\mathcal{L}=x_{1}-\tfrac{1}{2}(x_{1}-1)^{2}+\ln(1+x_{2})+\lambda\bigl(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\bigr),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (interpretação econômica: valor marginal da renda).
As condições de primeira ordem (assumindo interior, isto é x_{1}>0,\;x_{2}>0) são:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}: \quad 2-x_{1}-\lambda p_{1}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}}: \quad \frac{1}{1+x_{2}}-\lambda p_{2}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}: \quad p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
Da primeira e segunda equações obtemos \lambda e eliminamos:
\lambda=\frac{2-x_{1}}{p_{1}}=\frac{1}{p_{2}(1+x_{2})}.
Isto implica a condição clássica de otimalidade (igualdade entre a taxa marginal de substituição e a razão de preços):
\text{MRS} \equiv \frac{U_{1}}{U_{2}}=(2-x_{1})(1+x_{2})=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Desse modo,
1+x_{2}=\frac{p_{1}}{p_{2}(2-x_{1})}.
Usando a restrição orçamentária p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m substituímos x_{2}:
p_{1}x_{1}+p_{2}\Biggl(\frac{p_{1}}{p_{2}(2-x_{1})}-1\Biggr)=m.
Simplificando:
p_{1}x_{1}+\frac{p_{1}}{2-x_{1}}-p_{2}=m.
Dividindo por p_{1} e definindo
A\equiv\frac{m+p_{2}}{p_{1}},
obtemos a equação que determina x_{1} no ótimo interior:
x_{1}+\frac{1}{2-x_{1}}=A.
Multiplicando por 2-x_{1} e rearranjando, obtemos uma quadrática:
x_{1}^{2}-(2+A)x_{1}+(2A-1)=0.
A solução dessa equação é
x_{1}^{*}=\frac{2+A\pm\sqrt{A^{2}-4A+8}}{2}.
Escolhemos a raiz que satisfaça 0\le x_{1}^{*}<2 (lembrando que U_{1}=2-x_{1} e, para interior, normalmente U_{1}>0 implica x_{1}<2). Para A>0 (o que vale dado preços e renda não-negativos), a raiz com sinal menos (o sinal “−” antes da raiz) entrega a solução interior correta; a raiz com sinal mais é maior que 2 e não corresponde ao ponto interior viável. Assim:
\boxed{\,x_{1}^{*}=\frac{2+A-\sqrt{A^{2}-4A+8}}{2}\,},\qquad A=\frac{m+p_{2}}{p_{1}}.
E então
\boxed{\,x_{2}^{*}=\frac{p_{1}}{p_{2}(2-x_{1}^{*})}-1\,}.
Esta é a solução interior (quando x_{2}^{*}>0 e x_{1}^{*}>0). Note que, por concavidade global de U (Hessiano negativo definido), se existe solução interior ela é única global.

Passo 4

Condições de existência do ótimo interior e análise de cantos. Aqui eu explico como checar quando a solução interior é viável e quando o ótimo é canto.
Para decidir se o ótimo é interior ou de canto precisamos verificar sinais de x_{1}^{*} e x_{2}^{*} e também comparar utilidades nos cantos. Dois cantos naturais: (i) gastar tudo em x_{1} (ou seja x_{2}=0), o que dá x_{1}=m/p_{1}; (ii) gastar tudo em x_{2} (ou seja x_{1}=0), que dá x_{2}=m/p_{2}. Em problemas com duas variáveis podemos usar a condição marginal no canto para testar optimalidade:
  • Teste se o canto x_{2}=0 (comprar só x_{1}) é ótimo. Calcule a MRS no canto:
\text{MRS at }(x_{1}=m/p_{1},x_{2}=0)= (2-\tfrac{m}{p_{1}})\cdot 1 =2-\frac{m}{p_{1}}.
O canto x_{2}=0 é ótimo se e somente se um pequeno movimento financiado em direção a x_{2}>0 não aumenta utilidade. A condição matemática é
\text{MRS}_{\text{canto}}\ge\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Logo x_{2}=0 é ótimo se
2-\frac{m}{p_{1}}\ge\frac{p_{1}}{p_{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad m\le p_{1}\Bigl(2-\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr).
Denotando
m_{\text{crit}} \equiv p_{1}\Bigl(2-\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr),
temos: se m\le m_{\text{crit}} então o ótimo é o canto x_{2}=0,\;x_{1}=m/p_{1}.
  • Teste se o canto x_{1}=0 (comprar só x_{2}) é ótimo. A MRS em x_{1}=0,\;x_{2}=m/p_{2} vale
\text{MRS} = (2-0)\Bigl(1+\frac{m}{p_{2}}\Bigr)=2\Bigl(1+\frac{m}{p_{2}}\Bigr).
O canto x_{1}=0 seria ótimo se \text{MRS}\le p_{1}/p_{2}, isto é
2\Bigl(1+\frac{m}{p_{2}}\Bigr)\le\frac{p_{1}}{p_{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad m\le\frac{p_{1}}{2}-p_{2}.
Como o lado direito \frac{p_{1}}{2}-p_{2} costuma ser negativo para preços típicos positivos (e m\ge0), geralmente essa desigualdade falha e o canto x_{1}=0 não é ótimo salvo casos muito específicos de preços (por exemplo p_{1} grande e p_{2} pequeno). Portanto, em quase todos os casos esperados o canto relevante é x_{2}=0 quando o orçamento é muito pequeno.
  • Se m>m_{\text{crit}}, então o canto x_{2}=0 não satisfaz a condição MRS e o consumidor prefere algum x_{2}>0; portanto haverá solução interior com x_{2}^{*}>0 e x_{1}^{*} dado pela fórmula do Passo 3.

Passo 5

Quando é possível atingir x_{1}=1 (factibilidade e quando o ótimo coincide com x_{1}=1).
  1. Factibilidade simples: para que seja possível (factível) comprar x_{1}=1 com x_{2}\ge0 basta ter m\ge p_{1} (pois o mínimo gasto para ter x_{1}=1 é p_{1}, deixando possivelmente x_{2}=(m-p_{1})/p_{2}\ge0). Logo:
\text{Feasible to reach }x_{1}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad m\ge p_{1}.
  1. Quando o ótimo é exatamente x_{1}^{*}=1 ? Use a condição de interior: substituir x_{1}=1 na relação que determinou A:
x_{1}+\frac{1}{2-x_{1}}=A \quad\Rightarrow\quad 1+\frac{1}{1}=2=A.
Isto significa
A=\frac{m+p_{2}}{p_{1}}=2 \quad\Longleftrightarrow\quad m=2p_{1}-p_{2}.
Portanto, se houver solução interior e m=2p_{1}-p_{2}, então o ótimo interior satisfaz x_{1}^{*}=1 e, pela equação de MRS, x_{2}^{*}=\dfrac{p_{1}}{p_{2}(2-1)}-1=\dfrac{p_{1}}{p_{2}}-1 (esse x_{2}^{*} deve ser não-negativo para fazer sentido; se for negativo então x_{1}=1 não seria interior viável).
Sintetizando:
  • Se m< p_{1}: nem sequer é possível comprar x_{1}=1.
  • Se p_{1}\le m\le m_{\text{crit}}: é possível comprar x_{1}=1 (factível) mas o ótimo pode ainda ser canto x_{2}=0 com x_{1}=m/p_{1} (se m\le m_{\text{crit}}). Em particular, para m pequeno o ótimo não é x_{1}=1 salvo o caso especial m=p_{1} que dá um x_{1}=1 de canto se gasta tudo em x_{1}.
  • Se m>m_{\text{crit}}: há solução interior; x_{1}^{*} cresce com m (monotonicidade explicada no próximo passo) e atinge o valor 1 exatamente se m=2p_{1}-p_{2}. Para m>2p_{1}-p_{2} tem-se x_{1}^{*}>1 e para m<2p_{1}-p_{2} tem-se x_{1}^{*}<1, na região onde existe solução interior.
Observação importante: os valores numéricos dos limiares dependem da relação entre p_{1} e p_{2}. Em particular, m_{\text{crit}}=p_{1}(2-p_{1}/p_{2}) pode ser menor ou maior que 2p_{1}-p_{2} dependendo se p_{2} é menor ou maior que p_{1}. Portanto há três regimes paramétricos possíveis; o que importa é o procedimento para checar qual caso ocorre para dados p_{1},p_{2}.

Passo 6

Discussão sobre monotonicidade global, saciedade e ótimos de canto (interpretação econômica e ensino para prova).
  1. Monotonicidade global:
  • A utilidade total não é monotônica em todos os argumentos de forma global no domínio irrestrito porque a componente quadrática em x_{1} é côncava e tem máximo unidimensional em x_{1}=2 (fixando x_{2}). Ou seja, se aumentarmos x_{1} além de 2 a utilidade decresce (pois U_{1}=2-x_{1} torna-se negativa para x_{1}>2). Portanto não há monotonicidade global em x_{1}.
  • Em x_{2} a utilidade é estritamente crescente (pois U_{2}=1/(1+x_{2})>0 sempre), embora com retornos marginais decrescentes. Assim globalmente, U é crescente em x_{2} mas não em x_{1}.
  1. Saciedade local e ótimos de canto:
  • Existe saciedade (bliss point) parcial em x_{1} no sentido que a derivada zera em x_{1}=2. Portanto, se o orçamento e preços permitirem, o consumidor não quer aumentar x_{1} além de 2; se o orçamento for grande ele tende a se aproximar de x_{1}=2 (no limite x_{1}\to 2^{-} para m\to\infty, conforme a solução interior).
  • Ótimos de canto ocorrem quando a renda é pequena o suficiente (condição m\le m_{\text{crit}} do passo anterior) e aí o consumidor compra apenas x_{1} (ou muito provavelmente apenas x_{1} em vez de x_{2}). Isso é natural: com pouca renda a melhor utilidade adicional por dólar pode vir de x_{1} dado seu perfil inicial.
  • Nota didática pequena para prova: para testar um canto, calcule a MRS no canto e compare com p_{1}/p_{2} (ou use a comparação de utilidades diretas). Se MRS no canto é maior ou igual à razão de preços, o canto com x_{2}=0 é ótimo; se for menor, há incentivo a deslocar-se para interior (comprar x_{2}).

Passo 7

Comportamento limite e interpretação econômica simples (dicas para prova).
  • Quando m\to 0: o consumidor compra proporcionalmente pouco; se m é muito pequeno e m\le m_{\text{crit}} então o ótimo é gastar tudo em x_{1}, x_{1}=m/p_{1}, x_{2}=0.
  • Quando m\to\infty: pela forma da solução interior, x_{1}^{*} tende para 2 (o ponto onde U_{1}=0) e x_{2}^{*}\to\infty (porque a função logaritmo cresce sem limite — o consumidor aloca parte da renda para x_{2} indefinidamente). Assim o agente nunca fica plenamente satisfeito com x_{2} (sem bliss point em x_{2}), mas em x_{1} existe uma atitude de saciedade (não convém ultrapassar 2).

Passo 8

Como desenhar o gráfico pedido (resposta a (d)) — instruções práticas para a prova.
  • Eixos: abscissa x_{1}, ordenada x_{2}.
  • Reta orçamentária: desenhar a reta
x_{2}=\frac{m}{p_{2}}-\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1},
com interceptos x_{1}-intercept =m/p_{1} e x_{2}-intercept =m/p_{2}.
  • Ponto de “saciedade local” em x_{1}=1: marcar a vertical x_{1}=1 (ou o ponto (1,\; (m-p_{1})/p_{2}) se quiser o ponto sobre a reta). Explicar no gráfico que x_{1}=2 seria o ponto onde U_{1}=0 (bliss parcial em x_{1}).
  • Ótimo:
    • Se m\le m_{\text{crit}}: ótimo é canto na interseção da reta orçamentária com o eixo x_{1}: (m/p_{1},0).
    • Se m>m_{\text{crit}}: ótimo é o ponto tangencial entre uma curva de indiferença (nível de utilidade) e a reta orçamentária; a tangência satisfaz \text{MRS}=p_{1}/p_{2}. No gráfico, trace uma curva de indiferença suave (curvas concavas) e desenhe a tangência no ponto (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) calculado no Passo 3.
Dica prática para prova: desenhe dois casos (renda pequena e renda grande). Mostre explicitamente o canto com só x_{1} e o caso de tangência onde x_{2}>0. Marque também o ponto x_{1}=1 e x_{1}=2 para explicar saciedade local versus ponto onde U_{1}=0.

Resposta

(a) U_{1}(x_{1},x_{2})=2-x_{1} e U_{11}=-1<0. Logo a utilidade marginal de x_{1} decresce (saciedade local no sentido de retornos marginais decrescentes); note que U_{1}(1)=1>0 (portanto x_{1}=1 não é ponto de bliss estrito; o ponto onde U_{1}=0 é x_{1}=2).\n
(b) Solução interior (quando x_{2}^{*}>0 e x_{1}^{*}\in(0,2)): defina A=(m+p_{2})/p_{1}. Então
x_{1}^{*}=\frac{2+A-\sqrt{A^{2}-4A+8}}{2},\qquad x_{2}^{*}=\frac{p_{1}}{p_{2}(2-x_{1}^{*})}-1.
Canto x_{2}=0 (gastar tudo em x_{1}) é ótimo se e somente se
m\le m_{\text{crit}}\equiv p_{1}\Bigl(2-\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr),
neste caso x_{1}^{*}=m/p_{1},\;x_{2}^{*}=0. O canto x_{1}=0 raramente é ótimo (condição muito restritiva m\le p_{1}/2-p_{2}). Quanto a atingir x_{1}=1: é factível sempre que m\ge p_{1}. O ótimo interior tem x_{1}^{*}=1 exatamente quando m=2p_{1}-p_{2} (desde que isso caia na região interior válida).\n
(c) Implicações: a utilidade não é monotônica globalmente em x_{1} (pois U_{1} muda de sinal em x_{1}=2); há saciedade parcial em x_{1}. Ótimos de canto ocorrem para renda pequena (condição acima); para renda maior obtém-se tangência interior com \text{MRS}=p_{1}/p_{2}. Em particular, para orçamentos grandes x_{1}^{*}\to 2^{-} e x_{2}^{*}\to\infty.\n
(d) Reta orçamentária: x_{2}=\dfrac{m}{p_{2}}-\dfrac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}. No gráfico marque (i) o ponto (1,\,(m-p_{1})/p_{2}) como referência ao redor de x_{1}=1, (ii) o ponto x_{1}=2 (bliss parcial em x_{1}), e (iii) o ótimo que é ou o canto (m/p_{1},0) se m\le m_{\text{crit}} ou o ponto de tangência (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) dado em (b) se m>m_{\text{crit}}.

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