Em uma célula de produção, o planejador precisa recompor o mix de dois insumos operacionais -x_{1} (horas de máquina CNC) e x_{2} (horas de setup e metrologia)diante de uma variação no preço da hora de CNC p_{1}, mantendo p_{2} e o orçamento m fixos. A produtividade agregada é representada por preferências Cobb-Douglas:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha}, \quad 0<\alpha<1
sob a restrição orçamentária p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m.
(a) Derive as demandas hicksianas h_{1}(p, \bar{u}) e h_{2}(p, \bar{u}) via o problema dual de minimização de despesa para atingir U(x)=\bar{u}. Escreva também a função despesa e(p, \bar{u}).
(b) Mostre a identidade de Slutsky para o bem 1:
\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial p_{1}}=\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}-x_{1}^{M} \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial m}
e reescreva-a em termos de elasticidades:
\varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}-s_{1} \varepsilon_{m}^{x_{1}}, \quad \text { com } s_{1}=\frac{p_{1} x_{1}^{M}}{m}
(c) Para Cobb-Douglas, calcule explicitamente x_{1}^{M}=\alpha m / p_{1}, h_{1}, \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}, \varepsilon_{m}^{x_{1}} e verifique o sinal de cada componente na decomposição (efeitos de substituição e renda).
(d) Represente graficamente a decomposição de Slutsky: (i) movimento ao longo da indiferença compensada quando p_{1} varia (efeito substituição); (ii) desloca-
mento paralelo da reta orçamentária para recuperar o nível de renda original (efeito renda). Interprete operacionalmente como a célula ajusta o mix de CNC e metrologia após o choque em p_{1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Dados do problema:
    • Utilidade agregada (produtividade): U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha} com 0<\alpha<1.
    • Preços: p_{1} (hora CNC) e p_{2} (hora setup/metrologia). Nesse exercício p_{2} é fixo e varia p_{1}.
    • Orçamento: m fixo.
    • Restrição orçamentária original: p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
  • Perguntas:
    (a) Derivar as demandas hicksianas h_{1}(p,\bar{u}) e h_{2}(p,\bar{u}) pelo problema dual de minimizar despesa para atingir U(x)=\bar{u}. Escrever a função despesa e(p,\bar{u}).
    (b) Mostrar a identidade de Slutsky para o bem 1, \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial p_{1}}=\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}-x_{1}^{M}\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial m},e reescrevê-la em termos de elasticidades \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}-s_{1}\varepsilon_{m}^{x_{1}},\quad s_{1}=\frac{p_{1}x_{1}^{M}}{m}.(c) Para Cobb–Douglas, calcular explicitamente x_{1}^{M}=\alpha m/p_{1}, h_{1}, \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}, \varepsilon_{m}^{x_{1}} e verificar sinais da decomposição (efeito substituição e renda).
    (d) Fazer a interpretação gráfica/operacional da decomposição de Slutsky quando p_{1} varia: (i) movimento ao longo da indiferença compensada (efeito substituição) e (ii) deslocamento paralelo da reta orçamentária (efeito renda). Explicar como a célula ajusta mix de CNC e metrologia após choque em p_{1}.

Passo 2

Resolver (a): problema dual de minimização de despesa e obter demandas hicksianas.
  • Montar o problema de custo mínimo: minimizar a despesa sujeita ao nível de utilidade desejado \bar{u}: \min_{x_{1},x_{2}} \; p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\quad\text{s.a.}\quad x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}=\bar{u}.Explicação breve: a célula quer gastar o mínimo possível para atingir a produtividade \bar{u}. A função objetivo é a soma dos gastos nas duas horas ponderadas pelos preços; a restrição fixa o nível de produtividade.
  • Usar método de Lagrange. Lagrangeano: \mathcal{L}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\lambda\big(\bar{u}-x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}\big),onde \lambda é o multiplicador que mede quanto a despesa aumenta por aumento infinitesimal em \bar{u}.
  • Condições de primeira ordem (FOC): \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=p_{1}-\lambda\alpha x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{1-\alpha}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=p_{2}-\lambda(1-\alpha)x_{1}^{\alpha}x_{2}^{- \alpha}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=\bar{u}-x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}=0.
Vou manipular as duas primeiras equações para eliminar \lambda.
  • Dividir a primeira FOC pela segunda FOC para eliminar \lambda: \frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{\lambda\alpha x_{1}^{\alpha-1}x_{2}^{1-\alpha}}{\lambda(1-\alpha)x_{1}^{\alpha}x_{2}^{-\alpha}} =\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}}.Explicando: isolei a razão das duas equações; o fator \lambda cancela.
  • Resolver essa relação pela razão x_{1}/x_{2}: \frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}\cdot\frac{1-\alpha}{\alpha} \quad\Rightarrow\quad \frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\cdot\frac{\alpha}{1-\alpha}.Então x_{1}=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\dfrac{p_{2}}{p_{1}}\,x_{2}.
  • Substituir essa relação na restrição x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}=\bar{u} para encontrar x_{2} (e depois x_{1}). É mais simples usar a propriedade conhecida de Cobb–Douglas: a despesa é dividida em frações fixas \alpha e 1-\alpha. Para ser didático, mostro o passo:
    substituindo x_{1}=\kappa x_{2} com \kappa=\dfrac{\alpha p_{2}}{(1-\alpha)p_{1}}, (\kappa x_{2})^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha}=\kappa^{\alpha}x_{2}^{\alpha+1-\alpha}=\kappa^{\alpha}x_{2}=\bar{u}.Assim x_{2}=\bar{u}\,\kappa^{-\alpha}=\bar{u}\left(\frac{\alpha p_{2}}{(1-\alpha)p_{1}}\right)^{-\alpha}.E x_{1}=\kappa x_{2}=\bar{u}\,\kappa^{1-\alpha}=\bar{u}\left(\frac{\alpha p_{2}}{(1-\alpha)p_{1}}\right)^{1-\alpha}.Essas expressões já dão as hicksianas em forma explícita. Para tornar mais compactas e intuitivas, usamos a forma com a função despesa (próximo passo).

Passo 3

Expressar h_{1},h_{2} e a função despesa e(p,\bar{u}) de forma limpa (usar propriedade de participação de despesa).
  • Observação útil (conhecimento padrão de Cobb–Douglas): no mínimo de despesa para Cobb–Douglas a participação da despesa em cada bem é constante: gasta-se fração \alpha do gasto total em x_{1} e fração 1-\alpha em x_{2}. Isso decorre das FOC e acelera os cálculos sem pular raciocínio: da FOC original pode mostrar que p_{1}x_{1}=\alpha\big(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\big)=\alpha e(p,\bar{u}),
p_{2}x_{2}=(1-\alpha)e(p,\bar{u}).
Explicação: a primeira ordem implica proporção entre preços e utilidades marginais que leva a essa divisão fixa da despesa.
  • Assim, as demandas hicksianas podem ser escritas simplesmente como h_{1}(p,\bar{u})=\frac{\alpha\,e(p,\bar{u})}{p_{1}},\qquad h_{2}(p,\bar{u})=\frac{(1-\alpha)\,e(p,\bar{u})}{p_{2}}.Essas fórmulas dizem: para alcançar \bar{u} com custo mínimo e, gasta-se \alpha e em bem 1, então a quantidade é gasto sobre o preço.
  • Determinar e(p,\bar{u}). Usa-se a restrição x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}=\bar{u} com as expressões acima. Substituindo x_{1}= \alpha e/p_{1} e x_{2}=(1-\alpha)e/p_{2} obtemos \left(\frac{\alpha e}{p_{1}}\right)^{\alpha}\left(\frac{(1-\alpha)e}{p_{2}}\right)^{1-\alpha}=\bar{u}.Desenvolvendo: e^{\alpha}e^{1-\alpha}\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{1-\alpha}p_{1}^{-\alpha}p_{2}^{-(1-\alpha)}=\bar{u}.Como e^{\alpha}e^{1-\alpha}=e, temos e\cdot\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{1-\alpha}p_{1}^{-\alpha}p_{2}^{-(1-\alpha)}=\bar{u}.Portanto e(p,\bar{u})=\bar{u}\cdot\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}p_{1}^{\alpha}p_{2}^{1-\alpha}.Essa é a função despesa de Cobb–Douglas: cresce proporcionalmente com \bar{u} e com potências dos preços.
  • Finalmente, substituindo e nas fórmulas das hicksianas obtemos as expressões explícitas finais: h_{1}(p,\bar{u})=\alpha\,\frac{e(p,\bar{u})}{p_{1}} =\bar{u}\,\underbrace{\alpha^{1-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}}_{=\alpha^{1-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}}\,p_{1}^{\alpha-1}p_{2}^{1-\alpha},
h_{2}(p,\bar{u})=(1-\alpha)\,\frac{e(p,\bar{u})}{p_{2}} =\bar{u}\,\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{\alpha}\,p_{1}^{\alpha}p_{2}^{-\alpha}.
(Ambas expressões são equivalentes às formas com e; prefira a forma h_{i}=\text{quota}\times e/p_{i} para interpretação econômica.)

Passo 4

Derivar a identidade de Slutsky (b) e reescrevê-la em termos de elasticidades.
  • Relação entre Marshalliana e Hicksiana: para qualquer p,m e com u=v(p,m) (utilidade indireta correspondente a m), vale x^{M}(p,m)=h\big(p,v(p,m)\big),ou alternativamente h(p,\bar{u})=x^{M}\big(p,e(p,\bar{u})\big).Explicação: a compra Marshalliana com renda m é igual à demanda hicksiana com utilidade fixa igual à utilidade obtida por essa renda; e a hicksiana para utilidade \bar{u} é a Marshalliana para renda igual ao custo mínimo e(p,\bar{u}).
  • Tomar derivada total da segunda forma em relação a p_{1}, fixando \bar{u} (essa derivada dá a sensibilidade compensada): \frac{\partial h_{i}}{\partial p_{1}}=\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial m}\cdot\frac{\partial e(p,\bar{u})}{\partial p_{1}}.Explicando: usei a regra da cadeia (derivada de x^{M}(p,m) em argumentos p e m=e(p,\bar{u})).
  • Aplicar a Lema de Shephard: a derivada da função despesa em relação ao preço p_{j} é exatamente a demanda hicksiana desse bem: \frac{\partial e(p,\bar{u})}{\partial p_{j}}=h_{j}(p,\bar{u}).Intuição: o quanto a despesa mínima aumenta quando o preço do bem j sobe é igual à quantidade compensada desse bem comprada no mínimo (o gasto marginal recai sobre a quantidade hicksiana).
  • Substituir \partial e/\partial p_{1}=h_{1}(p,\bar{u}) na expressão anterior: \frac{\partial h_{i}}{\partial p_{1}}=\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial m}\,h_{1}(p,\bar{u}).
  • Agora avaliar tudo no nível onde \bar{u}=v(p,m). Nesse caso h_{1}(p,\bar{u})=x_{1}^{M}(p,m). Assim para i=1 obtemos a identidade de Slutsky pedida: \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial p_{1}}=\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}-x_{1}^{M}\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial m}.Essa é exatamente a fórmula: a variação total (não compensada) da demanda em função do preço é a variação compensada (substituição) menos o efeito renda (a participação do bem na despesa vezes a variação da demanda em função da renda).
  • Reescrever em termos de elasticidades. Multiplicar ambos os lados por \dfrac{p_{1}}{x_{1}^{M}} para obter: \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}-\underbrace{\frac{p_{1}x_{1}^{M}}{m}}_{s_{1}}\varepsilon_{m}^{x_{1}}.Onde \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial p_{1}}\cdot\frac{p_{1}}{x_{1}^{M}},\quad \varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}=\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}\cdot\frac{p_{1}}{h_{1}},\quad \varepsilon_{m}^{x_{1}}=\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial m}\cdot\frac{m}{x_{1}^{M}},e s_{1}=p_{1}x_{1}^{M}/m é a participação do gasto em bem 1 no orçamento total. Explicação: essa forma em elasticidades é útil porque separa efeitos percentuais e torna a interpretação mais direta.

Passo 5

Calcular explicitamente (c) para Cobb–Douglas: x_{1}^{M}, h_{1}, elasticidades e verificar sinais.
  • Derivar x_{1}^{M} pela maximização direta de utilidade com restrição orçamentária (método padrão): máximo de x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha} sujeito a p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m. Pelo método de Lagrange (análoga ao problema dual mas trocando objetivo/restrição) chega-se às condições que implicam participações de gasto \alpha e 1-\alpha. Resultado clássico: x_{1}^{M}=\frac{\alpha m}{p_{1}},\qquad x_{2}^{M}=\frac{(1-\alpha)m}{p_{2}}.Interpretação simples: a célula gasta fração \alpha do orçamento em horas CNC; quantidade resulta do gasto sobre o preço.
  • A partir da expressão geral de h_{1} obtida no Passo 3 e usando e(p,\bar{u}), temos (repetindo de forma explícita) h_{1}(p,\bar{u})=\alpha\frac{e(p,\bar{u})}{p_{1}} =\bar{u}\,\alpha^{1-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}\,p_{1}^{\alpha-1}p_{2}^{1-\alpha}.Observação: h_{1} depende de \bar{u} (nível de produtividade desejado) e dos preços; sua elasticidade compensada em relação a p_{1} será obtida abaixo.
  • Calcular as derivadas e elasticidades:
    • Derivada de x_{1}^{M} em relação a p_{1}: \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial p_{1}}=\frac{\partial}{\partial p_{1}}\left(\frac{\alpha m}{p_{1}}\right)=-\frac{\alpha m}{p_{1}^{2}}=-\frac{x_{1}^{M}}{p_{1}}.Logo a elasticidade preço não compensada: \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial p_{1}}\cdot\frac{p_{1}}{x_{1}^{M}}=-1.Interpretação: a demanda Marshalliana de x_{1} é unitariamente elástica em relação ao seu preço (variação percentual da quantidade é menos uma vez a variação percentual do preço).
    • Derivada de x_{1}^{M} em relação à renda m: \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial m}=\frac{\alpha}{p_{1}}.Logo elasticidade-renda: \varepsilon_{m}^{x_{1}}=\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial m}\cdot\frac{m}{x_{1}^{M}}=\frac{\alpha}{p_{1}}\cdot\frac{m}{\alpha m/p_{1}}=1.Interpretação: x_{1} é um bem normal de elasticidade-renda unitária (qualquer aumento percentual da renda aumenta x_{1} na mesma proporção).
    • Elasticidade compensada (Hicksiana) de h_{1} em relação a p_{1}. Lembrando que h_{1}\propto p_{1}^{\alpha-1}, portanto \frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}=(\alpha-1)\frac{h_{1}}{p_{1}}.Assim \varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}=\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}\cdot\frac{p_{1}}{h_{1}}=\alpha-1.Observação: como 0<\alpha<1, tem-se \alpha-1\in(-1,0), ou seja, o efeito substituição é negativo (aumento do preço reduz a demanda compensada) e com magnitude menor que 1.
    • Participação do gasto s_{1}: s_{1}=\frac{p_{1}x_{1}^{M}}{m}=\frac{p_{1}\cdot(\alpha m/p_{1})}{m}=\alpha.
  • Verificação da decomposição de Slutsky em elasticidades: \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}} \overset{?}{=} \varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}-s_{1}\varepsilon_{m}^{x_{1}}.Substituindo valores: -1 \stackrel{?}{=} (\alpha-1)-\alpha\cdot 1 = \alpha-1-\alpha=-1.Conferido: igualdade satisfeita.
  • Interpretação dos sinais:
    • Efeito substituição ( \varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}=\alpha-1) é negativo (pois \alpha-1<0): um aumento em p_{1} leva, mantendo utilidade compulsoriamente constante, à substituição de x_{1} por x_{2}.
    • Efeito renda (termo -s_{1}\varepsilon_{m}^{x_{1}}=-\alpha\cdot 1) também atua no sentido de reduzir x_{1} quando p_{1} aumenta, porque x_{1} é normal ( \varepsilon_{m}^{x_{1}}>0) e um aumento de p_{1} reduz o poder de compra real. Assim, para Cobb–Douglas ambos os efeitos empurram a demanda por x_{1} para baixo quando p_{1} sobe.

Passo 6

Representação gráfica e interpretação operacional (d).
  • Passo gráfico (descrição passo a passo sem figura):
    1. Comece na situação inicial: reta orçamentária p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m e ponto de tangência com uma curva de indiferença U(x_{1},x_{2}) em x^{M}.
    2. Aumenta p_{1}: a reta orçamentária gira para dentro (intercepto em x_{1} diminui), origem do choque.
    3. Efeito substituição (movimento ao longo da indiferença compensada): para isolar substituição, compensamos o planejador com renda (ajuste de renda) de modo que a mesma curva de indiferença inicial seja tangente à nova taxa de troca p_{1}/p_{2}. O novo ponto de tangência nessa mesma indiferença é a demanda hicksiana h. Geometricamente é um movimento ao longo da indiferença original (menor x_{1}, maior x_{2}).
    4. Efeito renda (deslocamento paralelo da reta orçamentária): para recuperar o nível de renda real original (ou para passar da situação compensada para a situação real com renda m), desloca-se a reta orçamentária paralelamente até corresponder ao orçamento real. Esse deslocamento provoca um movimento adicional na quantidade de x_{1} — para Cobb–Douglas esse movimento reduz ainda mais x_{1} (porque o bem é normal).
    5. Resultado final: x_{1} cai por causa da combinação de substituição (troca por x_{2}) e perda de poder de compra (efeito renda). x_{2} sobe (substituição) e pode ser parcialmente compensado pelo efeito renda dependendo da estrutura (aqui em Cobb–Douglas x_{2} também é normal e aumenta).
  • Interpretação operacional para a célula produtiva:
    • Se o preço da hora CNC p_{1} sobe, a célula ajusta imediatamente o mix reduzindo horas CNC x_{1} e aumentando, na margem, horas de setup/metrologia x_{2} (efeito substituição). Na prática isso pode significar trocar alguma operação automatizada por processos que exigem mais setup/metrologia, reprogramar lotes ou usar mais inspeção para manter qualidade.
    • Além disso, como o aumento de p_{1} reduz o poder de compra (mesmo orçamento m), a célula reduz ainda mais o uso de horas CNC porque é um insumo normal — isto é o efeito renda. No caso Cobb–Douglas ambos os efeitos vão no mesmo sentido: menor consumo de CNC.
    • Conclusão operacional direta: após choque em p_{1} a célula diminui x_{1} e aumenta x_{2} (substituição), e a redução líquida de x_{1} é maior ainda por conta da perda de poder de compra (renda). Isso indica que, estruturalmente, a planta tenderá a reprogramar os processos para usar menos CNC e possivelmente investir em tarefas de preparação/metrologia ou redesenhar sequência de operações.

Resposta

(a) h_{1}(p,\bar{u})=\dfrac{\alpha\,e(p,\bar{u})}{p_{1}},\quad h_{2}(p,\bar{u})=\dfrac{(1-\alpha)\,e(p,\bar{u})}{p_{2}}, com e(p,\bar{u})=\bar{u}\,\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}p_{1}^{\alpha}p_{2}^{1-\alpha}.
(b) \displaystyle \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial p_{1}}=\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}-x_{1}^{M}\frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial m} \quad e em elasticidades \displaystyle \varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=\varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}-s_{1}\varepsilon_{m}^{x_{1}},\\ \\ s_{1}=\frac{p_{1}x_{1}^{M}}{m}.
(c) x_{1}^{M}=\dfrac{\alpha m}{p_{1}}, h_{1}(p,\bar{u})=\bar{u}\,\alpha^{1-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}p_{1}^{\alpha-1}p_{2}^{1-\alpha},
\varepsilon_{p_{1}}^{x_{1}}=-1,\\ \varepsilon_{m}^{x_{1}}=1,\\ \varepsilon_{p_{1}}^{h_{1}}=\alpha-1,\\ s_{1}=\alpha. Verificação: -1=(\alpha-1)-\alpha. Sinais: efeito substituição \alpha-1<0; efeito renda -s_{1}\varepsilon_{m}^{x_{1}}=-\alpha<0; ambos reduzem x_{1} quando p_{1} sobe.
(d) Gráfico/operacional: (i) ao aumentar p_{1} há um movimento ao longo da indiferença (compensado) que reduz x_{1} e aumenta x_{2} (efeito substituição); (ii) depois um deslocamento paralelo da reta orçamentária (efeito renda) reduz ainda mais x_{1} porque x_{1} é normal. Operacionalmente: a célula reduz o uso de horas CNC e realoca para mais horas de setup/metrologia; a queda líquida em CNC é maior porque o choque de preço também corta o poder de compra.

Exercícios relacionados