Um gestor de operações precisa garantir um nível de serviço mínimo
combinando horas de duas frentes de trabalho:
(equipe de manutenção mecânica) e
(equipe de inspeção térmica). O desempenho agregado segue uma função CES:
Os preços (tarifas horárias) são
. O gestor quer atingir
ao menor custo total
.
(a) Formule e resolva o problema de minimização de despesa
, derivando as demandas hicksianas
e
.
(b) Obtenha a função despesa
correspondente e verifique sua homogeneidade de grau 1 em
.
(c) Use o Lema de Shephard para mostrar que
para
.
(d) Represente graficamente a solução compensada: esboce as curvas de indiferença CES, as iso-despesas e o ponto ótimo onde ocorre a tangência; discuta como variações em
alteram o mix ótimo mantendo
.
(a) Formule e resolva o problema de minimização de despesa
(b) Obtenha a função despesa
(c) Use o Lema de Shephard para mostrar que
(d) Represente graficamente a solução compensada: esboce as curvas de indiferença CES, as iso-despesas e o ponto ótimo onde ocorre a tangência; discuta como variações em
Passo 1
O enunciado pede que o gestor minimize o custo total pagando
por hora de
e
por hora de
, sujeitando-se a atingir um nível de desempenho agregado fixo
dado pela função CES
com
e
.
Perguntas concretas:
(a) Formular e resolver o problema
(a) Formular e resolver o problema
e encontrar as demandas hicksianas
e
.
(b) Obter a função despesa
e verificar que é homogênea de grau
em
.
(c) Usar o Lema de Shephard para mostrar que
para
.
(d) Representar graficamente a solução compensada: esboçar curvas de indiferença CES, iso-despesas, o ponto ótimo de tangência; discutir como variações no quociente
alteram o mix ótimo mantendo
.
Informações dadas e notações que vou usar:
- Objetivo: minimizar
sujeito a . - Equivalente conveniente da restrição (elevar ao poder
):
- Vou usar o método do multiplicador de Lagrange (explicarei tudo passo a passo) e a constante de elasticidade de substituição
dada por quando for útil.
Passo 2
Montagem do Lagrangiano e interpretação didática do método:
- Ideia do Lagrangiano: transformar o problema com restrição em um problema sem restrição usando um multiplicador
que penaliza a violação da restrição. O multiplicador tem interpretação econômica: custo marginal em termos do aumento da restrição (aqui, quanto o custo aumenta para elevar infinitesimalmente). - Escrevemos o Lagrangiano
- As primeiras condições necessárias de ótimalidade (condições de primeira ordem - FOC) são obtidas derivando
em relação a e igualando a zero. Vou calcular e explicar cada derivada.
Passo 3
Cálculo das condicionais de primeira ordem (FOC) e interpretação:
- Derivada em relação a
:
Interpretação: no ponto ótimo, o custo marginal do primeiro bem
é igual ao multiplicador
vezes o “produto marginal concentado”
(termo vindo da restrição transformada).
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(a própria restrição):
que é exatamente a restrição que deve ser satisfeita no ótimo.
Passo 4
Encontrar a relação entre
e
(condição de tangência) – passo importante para entender o trade-off:
- Divida a primeira FOC pela segunda para eliminar
:
- Reescrever para isolar a razão
:
- Tomando potência
,
Observação sobre sinais e monotonicidade: como
, a quantidade
é negativa, portanto o expoente
é negativo. É útil introduzir a elasticidade de substituição
para reescrever
. Assim uma forma mais interpretável é
Interpretação: a razão
depende de
; portanto se
aumenta (bem 1 fica relativamente mais caro), a razão cai — menos
relativo a
. O parâmetro
mede a sensibilidade (elasticidade) da substituição entre frentes.
Passo 5
Expressar
e
em função de
e
(resolver completamente usando a restrição). Estratégia: escrever
com um fator comum e usar a restrição para determinar esse fator. Usarei notação
,
só para simplificar escrita.
Das FOC isolamos
em termos de
:
Vou reescrever isso de forma prática e compacta. Defina
Então
Chame
o fator comum; assim
.
Agora aplicar a restrição
:
- Calcular
. - Somar com pesos
:
Agora usar a identidade útil (verificação algebraica): com
tem-se
(verifique:
). Assim o parêntese vira
Note também a relação de expoentes
, portanto
. Defina
Assim a restrição fica
Daí
Finalmente substituindo
em
obtemos as demandas hicksianas:
onde
e
.
Se quiser uma forma alternativa (mais explícita em termos de
), use a razão encontrada no passo anterior junto com a restrição para isolar cada
; a forma acima é a mais compacta e simétrica.
Passo 6
Obter a função despesa
substituindo
na despesa total:
- Despesa total no ótimo:
Usando
temos
Mas o termo entre parênteses é exatamente
. Logo
Agora simplifico a potência usando identidades entre
e
. Note que
E como observado antes
(uma verificação rápida se quiser:
, então
). Assim podemos também escrever a despesa na forma padrão conhecida para CES:
Essa é a forma canônica: despesa é proporcional a
multiplicada por um agregado de preços elevado a
.
Passo 7
Verificação da homogeneidade de grau
em
(parte (b)):
- Tomemos um escalar
e substituímos em . Observe que . - Então
Portanto
é homogênea de grau
em
, como era desejado (interpretation: se todos os preços dobram, o custo mínimo também dobra).
Passo 8
Aplicar o Lema de Shephard (parte (c)) e verificar que
:
- Partimos da forma canônica
com . - Derivada parcial:
- Os fatores
e se cancelam, sobrando
- Como mostrado no passo 5,
, então a expressão coincide com a fórmula encontrada para :
Isto é exatamente o Lema de Shephard: a derivada da função despesa em relação ao preço
dá a demanda compensada por
.
Passo 9
Interpretação econômica final e esboço gráfico (parte (d)):
- Geometria: curvas de indiferença compensadas (níveis fixos de
) são as curvas de nível da função CES . Para essas curvas são convexo-para-origem (preferências convexas), similares a curvas de indiferença suavemente curvas entre os casos de perfeitos substitutos e complementos. - Iso-despesas (linhas de custo constante) são retas com declive
em coordenadas : todas as combinações que custam satisfazem . - Ponto ótimo: o ponto de custo mínimo para atingir
é a tangência entre uma curva de indiferença CES de nível e uma iso-despesa (ou uma solução de fronteira se um bem tiver demanda zero, mas aqui com parâmetros interiores e tipicamente interior). A condição de tangência é exatamente a igualdade das taxas marginais de substituição relativa aos preços que usamos nas FOC. - Efeito de variações em
: da expressão da razão
vemos que um aumento em
(bem 1 mais caro relativo ao bem 2) reduz a razão
: o gestor substitui horas de manutenção mecânica por horas de inspeção térmica. A sensibilidade dessa substituição é governada por
: maior
(mais substituíveis) aumenta a resposta do mix ao choque de preços; menor
(menos substituíveis) faz com que o mix seja menos sensível. Se
variar muito, o mix se ajusta seguindo a fórmula acima, mantendo
e variando a despesa total conforme a função
.
Gráfico de esboço (como desenhar numa folha):
- Desenhar eixos
(horizontal) e (vertical). - Traçar curvas de indiferença CES (curvas convexas voltadas ao eixo).
- Traçar uma reta iso-despesa
tangente à curva de nível . - Indicar ponto de tangência como solução compensada
. - Mostrar que aumentar
pivotará a reta iso-despesa tornando-a mais inclinada (declive mais acentuado), deslocando o ponto de tangência para a esquerda (menos , mais ).
Resposta
(a)
, com
e
.
(b) , e
para todo
(homogeneidade de grau 1 em
).
(c) para
(Shephard).
(d) A solução compensada é o ponto de tangência entre a curva de nível CES e uma iso-despesa
; variações em
pivotam a iso-despesa e, pela relação
(b)
(c)
(d) A solução compensada é o ponto de tangência entre a curva de nível CES
um aumento em
reduz
(menos
, mais
); a sensibilidade do ajuste é dada por
.