Um gestor de operações precisa garantir um nível de serviço mínimo \bar{u} combinando horas de duas frentes de trabalho: x_{1} (equipe de manutenção mecânica) e x_{2} (equipe de inspeção térmica). O desempenho agregado segue uma função CES:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta) x_{2}^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}, \quad \delta \in(0,1), \rho \in(-\infty, 1) \backslash\{0\}
Os preços (tarifas horárias) são p_{1}, p_{2}. O gestor quer atingir U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\bar{u} ao menor custo total p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}.
(a) Formule e resolva o problema de minimização de despesa \min _{x_{1}, x_{2} \geq 0}\left\{p_{1} x_{1}+\right. \left.p_{2} x_{2}: U\left(x_{1}, x_{2}\right)=\bar{u}\right\}, derivando as demandas hicksianas h_{1}(p, \bar{u}) e h_{2}(p, \bar{u}).
(b) Obtenha a função despesa e(p, \bar{u}) correspondente e verifique sua homogeneidade de grau 1 em p.
(c) Use o Lema de Shephard para mostrar que h_{i}(p, \bar{u})=\frac{\partial e(p, \bar{u})}{\partial p_{i}} para i=1,2.
(d) Represente graficamente a solução compensada: esboce as curvas de indiferença CES, as iso-despesas e o ponto ótimo onde ocorre a tangência; discuta como variações em p_{1} / p_{2} alteram o mix ótimo mantendo U=\bar{u}.

Passo 1

O enunciado pede que o gestor minimize o custo total pagando p_{1} por hora de x_{1} e p_{2} por hora de x_{2}, sujeitando-se a atingir um nível de desempenho agregado fixo \bar{u} dado pela função CES
U(x_{1},x_{2})=\left(\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}},
com \delta\in(0,1) e \rho\in(-\infty,1)\setminus\{0\}.
Perguntas concretas:
(a) Formular e resolver o problema
\min_{x_{1},x_{2}\ge 0}\{p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}:\; U(x_{1},x_{2})=\bar{u}\}
e encontrar as demandas hicksianas h_{1}(p,\bar{u}) e h_{2}(p,\bar{u}).
(b) Obter a função despesa e(p,\bar{u}) e verificar que é homogênea de grau 1 em p=(p_{1},p_{2}).
(c) Usar o Lema de Shephard para mostrar que h_{i}(p,\bar{u})=\dfrac{\partial e(p,\bar{u})}{\partial p_{i}} para i=1,2.
(d) Representar graficamente a solução compensada: esboçar curvas de indiferença CES, iso-despesas, o ponto ótimo de tangência; discutir como variações no quociente p_{1}/p_{2} alteram o mix ótimo mantendo U=\bar{u}.
Informações dadas e notações que vou usar:
  • Objetivo: minimizar p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} sujeito a U(x_{1},x_{2})=\bar{u}.
  • Equivalente conveniente da restrição (elevar ao poder \rho):
\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho}=\bar{u}^{\rho}.
  • Vou usar o método do multiplicador de Lagrange (explicarei tudo passo a passo) e a constante de elasticidade de substituição \sigma dada por \sigma=\dfrac{1}{1-\rho} quando for útil.

Passo 2

Montagem do Lagrangiano e interpretação didática do método:
  • Ideia do Lagrangiano: transformar o problema com restrição em um problema sem restrição usando um multiplicador \lambda que penaliza a violação da restrição. O multiplicador \lambda tem interpretação econômica: custo marginal em termos do aumento da restrição (aqui, quanto o custo aumenta para elevar \bar{u} infinitesimalmente).
  • Escrevemos o Lagrangiano
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\lambda\big(\bar{u}^{\rho}-\delta x_{1}^{\rho}-(1-\delta)x_{2}^{\rho}\big).
  • As primeiras condições necessárias de ótimalidade (condições de primeira ordem - FOC) são obtidas derivando \mathcal{L} em relação a x_{1},x_{2},\lambda e igualando a zero. Vou calcular e explicar cada derivada.

Passo 3

Cálculo das condicionais de primeira ordem (FOC) e interpretação:
  • Derivada em relação a x_{1}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=p_{1}-\lambda\delta\rho x_{1}^{\rho-1}=0 \quad\Rightarrow\quad p_{1}=\lambda\delta\rho\,x_{1}^{\rho-1}.
Interpretação: no ponto ótimo, o custo marginal do primeiro bem p_{1} é igual ao multiplicador \lambda vezes o “produto marginal concentado” \delta\rho x_{1}^{\rho-1} (termo vindo da restrição transformada).
  • Derivada em relação a x_{2}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=p_{2}-\lambda(1-\delta)\rho x_{2}^{\rho-1}=0 \quad\Rightarrow\quad p_{2}=\lambda(1-\delta)\rho\,x_{2}^{\rho-1}.
  • Derivada em relação a \lambda (a própria restrição):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=\bar{u}^{\rho}-\delta x_{1}^{\rho}-(1-\delta)x_{2}^{\rho}=0,
que é exatamente a restrição que deve ser satisfeita no ótimo.

Passo 4

Encontrar a relação entre x_{1} e x_{2} (condição de tangência) – passo importante para entender o trade-off:
  • Divida a primeira FOC pela segunda para eliminar \lambda\rho:
\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{\delta x_{1}^{\rho-1}}{(1-\delta)x_{2}^{\rho-1}}.
  • Reescrever para isolar a razão x_{1}/x_{2}:
\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{\rho-1}=\frac{p_{1}}{p_{2}}\cdot\frac{1-\delta}{\delta}.
  • Tomando potência 1/(\rho-1),
\frac{x_{1}}{x_{2}}=\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\cdot\frac{1-\delta}{\delta}\right)^{\frac{1}{\rho-1}}.
Observação sobre sinais e monotonicidade: como \rho<1, a quantidade \rho-1 é negativa, portanto o expoente 1/(\rho-1) é negativo. É útil introduzir a elasticidade de substituição
\sigma=\frac{1}{1-\rho}>0,
para reescrever 1/(\rho-1)=-\sigma. Assim uma forma mais interpretável é
\frac{x_{1}}{x_{2}}=\left(\frac{(1-\delta)p_{1}}{\delta p_{2}}\right)^{-\sigma} =\left(\frac{\delta}{1-\delta}\right)^{\sigma}\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)^{-\sigma}.
Interpretação: a razão x_{1}/x_{2} depende de (p_{1}/p_{2})^{-\sigma}; portanto se p_{1}/p_{2} aumenta (bem 1 fica relativamente mais caro), a razão cai — menos x_{1} relativo a x_{2}. O parâmetro \sigma mede a sensibilidade (elasticidade) da substituição entre frentes.

Passo 5

Expressar x_{1} e x_{2} em função de p e \bar{u} (resolver completamente usando a restrição). Estratégia: escrever x_{i} com um fator comum e usar a restrição para determinar esse fator. Usarei notação \alpha_{1}=\delta, \alpha_{2}=1-\delta só para simplificar escrita.
Das FOC isolamos x_{i} em termos de \lambda:
x_{i}=\Big(\frac{p_{i}}{\lambda\alpha_{i}\rho}\Big)^{\frac{1}{\rho-1}} \qquad(i=1,2).
Vou reescrever isso de forma prática e compacta. Defina
\sigma=\frac{1}{1-\rho}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\rho-1}=-\sigma.
Então
x_{i}=(\lambda\rho)^{\sigma}\,\alpha_{i}^{\sigma}\,p_{i}^{-\sigma}.
Chame C=(\lambda\rho)^{\sigma} o fator comum; assim x_{i}=C\,\alpha_{i}^{\sigma}p_{i}^{-\sigma}.
Agora aplicar a restrição \delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho}=\bar{u}^{\rho}:
  • Calcular x_{i}^{\rho}=C^{\rho}\alpha_{i}^{\sigma\rho}p_{i}^{-\sigma\rho}.
  • Somar com pesos \alpha_{i}:
\bar{u}^{\rho}=C^{\rho}\Big(\alpha_{1}^{1+\sigma\rho}p_{1}^{-\sigma\rho}+\alpha_{2}^{1+\sigma\rho}p_{2}^{-\sigma\rho}\Big).
Agora usar a identidade útil (verificação algebraica): com \sigma=1/(1-\rho) tem-se 1+\sigma\rho=\sigma (verifique: 1+\dfrac{\rho}{1-\rho}=\dfrac{1}{1-\rho}=\sigma). Assim o parêntese vira
\alpha_{1}^{\sigma}p_{1}^{-\sigma\rho}+\alpha_{2}^{\sigma}p_{2}^{-\sigma\rho}.
Note também a relação de expoentes 1-\sigma=-\sigma\rho, portanto p_{i}^{-\sigma\rho}=p_{i}^{1-\sigma}. Defina
S(p)\equiv\alpha_{1}^{\sigma}p_{1}^{1-\sigma}+\alpha_{2}^{\sigma}p_{2}^{1-\sigma}.
Assim a restrição fica
\bar{u}^{\rho}=C^{\rho}S(p).
Daí
C=\bar{u}\,S(p)^{-1/\rho}.
Finalmente substituindo C em x_{i}=C\alpha_{i}^{\sigma}p_{i}^{-\sigma} obtemos as demandas hicksianas:
\boxed{\,h_{i}(p,\bar{u})=x_{i}=\bar{u}\,\alpha_{i}^{\sigma}p_{i}^{-\sigma}\,S(p)^{-1/\rho}\,,\quad i=1,2,}
onde \alpha_{1}=\delta,\\ \alpha_{2}=1-\delta,\\ \sigma=\dfrac{1}{1-\rho} e S(p)=\delta^{\sigma}p_{1}^{1-\sigma}+(1-\delta)^{\sigma}p_{2}^{1-\sigma}.
Se quiser uma forma alternativa (mais explícita em termos de p_{1}/p_{2}), use a razão encontrada no passo anterior junto com a restrição para isolar cada x_{i}; a forma acima é a mais compacta e simétrica.

Passo 6

Obter a função despesa e(p,\bar{u}) substituindo x_{i} na despesa total:
  • Despesa total no ótimo:
e(p,\bar{u})=p_{1}h_{1}(p,\bar{u})+p_{2}h_{2}(p,\bar{u}).
Usando h_{i}=\bar{u}\,\alpha_{i}^{\sigma}p_{i}^{-\sigma}S(p)^{-1/\rho} temos
e(p,\bar{u})=\bar{u}\,S(p)^{-1/\rho}\big(\alpha_{1}^{\sigma}p_{1}^{1-\sigma}+\alpha_{2}^{\sigma}p_{2}^{1-\sigma}\big).
Mas o termo entre parênteses é exatamente S(p). Logo
\boxed{\,e(p,\bar{u})=\bar{u}\,S(p)^{1-1/\rho}\,=\;\bar{u}\,\big(\delta^{\sigma}p_{1}^{1-\sigma}+(1-\delta)^{\sigma}p_{2}^{1-\sigma}\big)^{\frac{1-1/\rho}{1}}\,.}
Agora simplifico a potência usando identidades entre \rho e \sigma. Note que
1-\frac{1}{\rho}=\frac{\rho-1}{\rho}.
E como observado antes
\frac{1}{1-\sigma}=\frac{\rho-1}{\rho}
(uma verificação rápida se quiser: 1-\sigma=1-\dfrac{1}{1-\rho}=-\dfrac{\rho}{1-\rho}, então 1/(1-\sigma)=-(1-\rho)/\rho=(\rho-1)/\rho). Assim podemos também escrever a despesa na forma padrão conhecida para CES:
\boxed{\,e(p,\bar{u})=\bar{u}\Big(\delta^{\sigma}p_{1}^{\,1-\sigma}+(1-\delta)^{\sigma}p_{2}^{\,1-\sigma}\Big)^{\frac{1}{1-\sigma}}\,.}
Essa é a forma canônica: despesa é proporcional a \bar{u} multiplicada por um agregado de preços elevado a 1/(1-\sigma).

Passo 7

Verificação da homogeneidade de grau 1 em p (parte (b)):
  • Tomemos um escalar t>0 e substituímos tp em e. Observe que S(tp)=\delta^{\sigma}(tp_{1})^{1-\sigma}+(1-\delta)^{\sigma}(tp_{2})^{1-\sigma}=t^{1-\sigma}S(p).
  • Então
e(tp,\bar{u})=\bar{u}\Big(t^{1-\sigma}S(p)\Big)^{\frac{1}{1-\sigma}}=\bar{u}\,t\,S(p)^{\frac{1}{1-\sigma}}=t\,e(p,\bar{u}).
Portanto e(p,\bar{u}) é homogênea de grau 1 em p, como era desejado (interpretation: se todos os preços dobram, o custo mínimo também dobra).

Passo 8

Aplicar o Lema de Shephard (parte (c)) e verificar que \partial e/\partial p_{i}=h_{i}:
  • Partimos da forma canônica e(p,\bar{u})=\bar{u}\,S(p)^{\frac{1}{1-\sigma}} com S(p)=\sum_{j}\alpha_{j}^{\sigma}p_{j}^{1-\sigma}.
  • Derivada parcial:
\frac{\partial e}{\partial p_{i}}=\bar{u}\,\frac{1}{1-\sigma}S(p)^{\frac{1}{1-\sigma}-1}\cdot\alpha_{i}^{\sigma}(1-\sigma)p_{i}^{-\sigma}.
  • Os fatores \dfrac{1}{1-\sigma} e (1-\sigma) se cancelam, sobrando
\frac{\partial e}{\partial p_{i}}=\bar{u}\,\alpha_{i}^{\sigma}p_{i}^{-\sigma}\,S(p)^{\frac{1}{1-\sigma}-1}.
  • Como mostrado no passo 5, \dfrac{1}{1-\sigma}-1=-\dfrac{1}{\rho}, então a expressão coincide com a fórmula encontrada para h_{i}(p,\bar{u}):
\frac{\partial e}{\partial p_{i}}=h_{i}(p,\bar{u}).
Isto é exatamente o Lema de Shephard: a derivada da função despesa em relação ao preço p_{i} dá a demanda compensada por i.

Passo 9

Interpretação econômica final e esboço gráfico (parte (d)):
  • Geometria: curvas de indiferença compensadas (níveis fixos de U) são as curvas de nível da função CES \{(x_{1},x_{2}):(\delta x_{1}^{\rho}+(1-\delta)x_{2}^{\rho})^{1/\rho}=\bar{u}\}. Para \rho<1 essas curvas são convexo-para-origem (preferências convexas), similares a curvas de indiferença suavemente curvas entre os casos de perfeitos substitutos e complementos.
  • Iso-despesas (linhas de custo constante) são retas com declive -p_{1}/p_{2} em coordenadas (x_{1},x_{2}): todas as combinações que custam E satisfazem p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=E.
  • Ponto ótimo: o ponto de custo mínimo para atingir U=\bar{u} é a tangência entre uma curva de indiferença CES de nível \bar{u} e uma iso-despesa (ou uma solução de fronteira se um bem tiver demanda zero, mas aqui com parâmetros interiores e \delta\in(0,1) tipicamente interior). A condição de tangência é exatamente a igualdade das taxas marginais de substituição relativa aos preços que usamos nas FOC.
  • Efeito de variações em p_{1}/p_{2}: da expressão da razão
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\left(\frac{\delta}{1-\delta}\right)^{\sigma}\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)^{-\sigma},
vemos que um aumento em p_{1}/p_{2} (bem 1 mais caro relativo ao bem 2) reduz a razão h_{1}/h_{2}: o gestor substitui horas de manutenção mecânica por horas de inspeção térmica. A sensibilidade dessa substituição é governada por \sigma: maior \sigma (mais substituíveis) aumenta a resposta do mix ao choque de preços; menor \sigma (menos substituíveis) faz com que o mix seja menos sensível. Se p_{1}/p_{2} variar muito, o mix se ajusta seguindo a fórmula acima, mantendo U=\bar{u} e variando a despesa total conforme a função e(p,\bar{u}).
Gráfico de esboço (como desenhar numa folha):
  • Desenhar eixos x_{1} (horizontal) e x_{2} (vertical).
  • Traçar curvas de indiferença CES (curvas convexas voltadas ao eixo).
  • Traçar uma reta iso-despesa p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=E tangente à curva de nível \bar{u}.
  • Indicar ponto de tangência como solução compensada (h_{1},h_{2}).
  • Mostrar que aumentar p_{1} pivotará a reta iso-despesa tornando-a mais inclinada (declive -p_{1}/p_{2} mais acentuado), deslocando o ponto de tangência para a esquerda (menos x_{1}, mais x_{2}).

Resposta

(a) h_{i}(p,\bar{u})=\bar{u}\,\alpha_{i}^{\sigma}p_{i}^{-\sigma}\,S(p)^{-1/\rho}, com \alpha_{1}=\delta,\\ \alpha_{2}=1-\delta,\\ \sigma=\dfrac{1}{1-\rho} e S(p)=\delta^{\sigma}p_{1}^{1-\sigma}+(1-\delta)^{\sigma}p_{2}^{1-\sigma}.
(b) e(p,\bar{u})=\bar{u}\Big(\delta^{\sigma}p_{1}^{1-\sigma}+(1-\delta)^{\sigma}p_{2}^{1-\sigma}\Big)^{\frac{1}{1-\sigma}}, e e(tp,\bar{u})=t\,e(p,\bar{u}) para todo t>0 (homogeneidade de grau 1 em p).
(c) \dfrac{\partial e(p,\bar{u})}{\partial p_{i}}=h_{i}(p,\bar{u}) para i=1,2 (Shephard).
(d) A solução compensada é o ponto de tangência entre a curva de nível CES U=\bar{u} e uma iso-despesa p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=e(p,\bar{u}); variações em p_{1}/p_{2} pivotam a iso-despesa e, pela relação
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\left(\frac{\delta}{1-\delta}\right)^{\sigma}\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)^{-\sigma},
um aumento em p_{1}/p_{2} reduz h_{1}/h_{2} (menos x_{1}, mais x_{2}); a sensibilidade do ajuste é dada por \sigma.

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