Uma organização de saúde pública estima que 2 5 % da população adulta de uma cidade seja fumante. Um grupo de pesquisadores deseja investigar se essa proporção mudou nos últimos anos. Para isso, realiza uma amostra aleatória de 300 adultos.
Na amostra, 69 adultos se declararam fumantes.

Itens:

a) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa para o teste.
b) Calcule a proporção amostral observada.
c) Determine a região crítica na escala da proporção amostral, considerando alpha=0,05, e indique quais valores da proporção amostral observada levariam à rejeição da hipótese nula.
d) Calcule o p-valor do teste.
e) Conclua se há evidências de que a proporção atual de fumantes é diferente de 25 %.
f) Calcule a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira proporção for, na realidade, 3 0 %.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para proporção populacional, em que a proporção de fumantes era 25% e queremos verificar se ela mudou. Temos uma amostra aleatória de tamanho n=300 com x=69 fumantes. Vamos usar a aproximação normal à distribuição de hat p para testar, ao nível de significância alpha=0,05, o desvio da proporção em relação a p0=0,25.

Passo 2

As hipóteses são:
H0:;p=0,25
H1:;pneq0,25
É um teste bilateral porque queremos saber se a proporção mudou (pode ser maior ou menor).

Passo 3

A proporção amostral observada é
hat p = xn = 69300 = 0,23

Passo 4

Sob H0, a média de hat p é p0=0,25 e o desvio-padrão é
sigmahat p =raizp0(1-p0)n =raiz0,25cdot0,75300 approx0,025
Para alpha=0,05 bilateral, os quantis críticos de Z são pm1,96. Convertendo para hat p, a região crítica é
hat p <= 0,25 - 1,96cdot0,025 approx0,201 ou hat p >= 0,25 + 1,96cdot0,025 approx0,299
Logo rejeitamos H0 se hat p<=0,201 ou hat p>=0,299.

Passo 5

O valor do teste é
z =hat p - p0sigmahat p =0,23-0,250,025 =-0,80
O p–valor, por ser bilateral, é
p-valor =2,Pr(Z<= -0,80) =2,Phi(-0,80) approx2cdot0,2119 =0,4238

Passo 6

Como p-valor=0,4238>0,05, não rejeitamos H0. Não há evidência estatística suficiente para afirmar que a proporção de fumantes difere de 25%.

Passo 7

Para calcular o erro tipo II beta supondo p=0,30, usamos a mesma região de aceitação (0,201,0,299). Sob p=0,30, o desvio de hat p é
sigma'hat p =raiz0,30cdot0,70300 approx0,0265
As fronteiras em termos de \emph{z} são
z1=0,201-0,300,0265approx -3,75, z2=0,299-0,300,0265approx -0,03
Logo
beta =Pr(0,201<hat p<0,299mid p=0,30) =Phi(-0,03)-Phi(-3,75) approx0,488

Resposta

a) H0:;p=0,25, H1:;pneq0,25
b) hat p=0,23.
c) Rejeitar H0 se hat p<=0,201 ou hat p>=0,299.
d) p-valorapprox0,4238.
e) Como p-valor>0,05, não rejeitamos H0; não há evidências de mudança.
f) betaapprox0,488.

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