Uma organização de saúde pública estima que
da população adulta de uma cidade seja fumante. Um grupo de pesquisadores deseja investigar se essa proporção mudou nos últimos anos. Para isso, realiza uma amostra aleatória de 300 adultos.
Na amostra, 69 adultos se declararam fumantes.
Itens:
a) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa para o teste.
b) Calcule a proporção amostral observada.
c) Determine a região crítica na escala da proporção amostral, considerando
, e indique quais valores da proporção amostral observada levariam à rejeição da hipótese nula.
d) Calcule o p-valor do teste.
e) Conclua se há evidências de que a proporção atual de fumantes é diferente de
.
f) Calcule a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira proporção for, na realidade,
.
b) Calcule a proporção amostral observada.
c) Determine a região crítica na escala da proporção amostral, considerando
d) Calcule o p-valor do teste.
e) Conclua se há evidências de que a proporção atual de fumantes é diferente de
f) Calcule a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira proporção for, na realidade,
Passo 1
O enunciado trata de um teste de hipótese para proporção populacional, em que a proporção de fumantes era
e queremos verificar se ela mudou. Temos uma amostra aleatória de tamanho
com
fumantes. Vamos usar a aproximação normal à distribuição de
para testar, ao nível de significância
, o desvio da proporção em relação a
.
Passo 2
As hipóteses são:
É um teste bilateral porque queremos saber se a proporção mudou (pode ser maior ou menor).
Passo 3
A proporção amostral observada é
Passo 4
Sob
, a média de
é
e o desvio-padrão é
Para
bilateral, os quantis críticos de
são
. Convertendo para
, a região crítica é
Logo rejeitamos
se
ou
.
Passo 5
O valor do teste é
O
–valor, por ser bilateral, é
Passo 6
Como
, não rejeitamos
. Não há evidência estatística suficiente para afirmar que a proporção de fumantes difere de
.
Passo 7
Para calcular o erro tipo II
supondo
, usamos a mesma região de aceitação
. Sob
, o desvio de
é
As fronteiras em termos de \emph{z} são
Logo
Resposta
a)
b)
.
c) Rejeitar se
ou
.
d) .
e) Como , não rejeitamos
; não há evidências de mudança.
f) .
c) Rejeitar
d)
e) Como
f)