O que está errado com o seguinte cálculo?
Passo 1
O enunciado mostra uma sequência de manipulações com somas infinitas: começamos com
e reescrevemos como
lembrando que estamos lidando com séries infinitas e o conceito de convergência de séries.
Passo 2
Para uma série infinita
convergir, os somatórios parciais
deve ter um limite finito quando
. No caso de
os somatórios parciais alternam entre 1 e 0, então essa série não converge no sentido usual.
Passo 3
As propriedades algébricas de soma—associatividade e comutatividade—só se aplicam sem perigo quando a série é absolutamente convergente. Em séries condicionalmente convergentes ou divergentes, reagrupar ou reordenar termos pode mudar o valor ou tornar a soma indefinida.
Passo 4
Na passagem de
para
estamos reagrupar termos de uma série que não converge, o que não é permito. Esse reagrupar indevido é a origem do resultado falso de 1.
Resposta
O erro é reagrupar e reordenar termos de uma série que não converge. A série
é divergente, logo não se podem aplicar livremente associatividade e comutatividade para obter 1.