O que está errado com o seguinte cálculo?
0 & =0+0+0+cdots & =(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots & =1-1+1-1+1-1+cdots & =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+cdots & =1+0+0+0+cdots=1

Passo 1

O enunciado mostra uma sequência de manipulações com somas infinitas: começamos com
0+0+0+cdots
e reescrevemos como
(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots
lembrando que estamos lidando com séries infinitas e o conceito de convergência de séries.

Passo 2

Para uma série infinita sumn=1^infty an convergir, os somatórios parciais
SN = sumn=1^N an
deve ter um limite finito quando Ntoinfty. No caso de
1 - 1 + 1 - 1 + cdots,
os somatórios parciais alternam entre 1 e 0, então essa série não converge no sentido usual.

Passo 3

As propriedades algébricas de soma—associatividade e comutatividade—só se aplicam sem perigo quando a série é absolutamente convergente. Em séries condicionalmente convergentes ou divergentes, reagrupar ou reordenar termos pode mudar o valor ou tornar a soma indefinida.

Passo 4

Na passagem de
1 -1 +1 -1 +cdots
para
1 +(-1+1)+(-1+1)+cdots
estamos reagrupar termos de uma série que não converge, o que não é permito. Esse reagrupar indevido é a origem do resultado falso de 1.

Resposta

O erro é reagrupar e reordenar termos de uma série que não converge. A série 1-1+1-1+cdots é divergente, logo não se podem aplicar livremente associatividade e comutatividade para obter 1.

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