Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado nos pede para construir o mapa de contornos (curvas de nível) da função
. O conteúdo aqui é encontrar as equações implícitas das curvas de nível e depois esboçar várias delas.
Passo 2
Para uma curva de nível de valor
, impomos
. Isso dá a equação:
Passo 3
Multiplicando em cruz e recolhendo termos em
e
, temos:
Passo 4
Desde que
e
, isolamos
:
Isso mostra que, para cada
, a curva de nível é uma reta passando pela origem com coeficiente angular
.
Passo 5
Precisamos ainda tratar os casos especiais:
– Se , o denominador
não anula, mas a equação original
leva a
.
– Se , a equação leva a
.
Para esboçar o mapa de contornos, basta escolher vários (por exemplo
), calcular
e desenhar as retas no plano
.
– Se
– Se
Para esboçar o mapa de contornos, basta escolher vários
Resposta
A família de curvas de nível é dada por