Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=x-yx+y

Passo 1

O enunciado nos pede para construir o mapa de contornos (curvas de nível) da função f(x,y)=x-yx+y. O conteúdo aqui é encontrar as equações implícitas das curvas de nível e depois esboçar várias delas.

Passo 2

Para uma curva de nível de valor c, impomos f(x,y)=c. Isso dá a equação:
x-yx+y=c

Passo 3

Multiplicando em cruz e recolhendo termos em x e y, temos:
x - y = c(x + y) Longrightarrow x - y = cx + cy
x - cx = y + cy Longrightarrow x(1 - c) = y(1 + c)

Passo 4

Desde que cneq -1 e cneq 1, isolamos y:
y = 1 - c1 + c,x
Isso mostra que, para cada c, a curva de nível é uma reta passando pela origem com coeficiente angular m=1-c1+c.

Passo 5

Precisamos ainda tratar os casos especiais:
– Se c=1, o denominador (1+c)=2 não anula, mas a equação original (x-y)/(x+y)=1 leva a y=0.
– Se c=-1, a equação leva a x=0.
Para esboçar o mapa de contornos, basta escolher vários c (por exemplo -2,-tfrac12,0,tfrac12,2), calcular m=(1-c)/(1+c) e desenhar as retas no plano (x,y).

Resposta

A família de curvas de nível é dada por
y=dfrac1-c1+c,x,&cneq pm1,[6pt] y=0,&c=1,[3pt] x=0,&c=-1

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