Seja o campo de velocidade de um fluido dado por V = i + x j + z k. Quantos metros cúbicos de fluido por segundo estão cruzando a superfície x² + y² + z² = 1, z ≥ 0 ? (As distâncias estão em metros).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema. Temos um campo de velocidade do fluido dado por . A gente precisa descobrir quantos metros cúbicos de fluido estão passando por uma superfície que é a parte superior de uma esfera de raio 1 (isto é, x^2 + y^2 + z^2 = 1 com z ≥ 0). Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” do campo que atravessa essa superfície. Matematicamente, isso é representado pela integral de superfície do produto escalar entre o campo vetorial V e o vetor normal à superfície n:
í

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície da esfera. Como estamos lidando com a parte superior da esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, os pontos na superfície são dados por:
onde theta varia de 0 a pi / 2 (já que z ≥ 0) e phi varia de 0 a .

Passo 4

O vetor normal à superfície n em coordenadas esféricas é radial, ou seja, aponta para fora e é dado por:
Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo V e n:
Como e , isso fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar esse produto escalar sobre a superfície. A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Então, o fluxo é:
Observando os termos:
  • Os termos com ou se anulam quando integramos de 0 a , pois são simétricos e se cancelam.
  • O único termo que sobra é .
Então:
Primeiro integramos em theta:
Depois, integramos em phi:

Resposta

O fluxo de fluido que está cruzando a superfície é de metros cúbicos por segundo.

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