Seja o campo de velocidade de um fluido dado por
. Quantos metros cúbicos de fluido por segundo estão cruzando a superfície
? (As distâncias estão em metros).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema. Temos um campo de velocidade do fluido dado por
. A gente precisa descobrir quantos metros cúbicos de fluido estão passando por uma superfície que é a parte superior de uma esfera de raio 1 (isto é,
com
). Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” do campo que atravessa essa superfície. Matematicamente, isso é representado pela integral de superfície do produto escalar entre o campo vetorial
e o vetor normal à superfície
:
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a superfície da esfera. Como estamos lidando com a parte superior da esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, os pontos na superfície são dados por:
onde
varia de
a
(já que
) e
varia de
a
.
Passo 4
O vetor normal à superfície
em coordenadas esféricas é radial, ou seja, aponta para fora e é dado por:
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Substituindo
e
:
Como
e
, isso fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar esse produto escalar sobre a superfície. A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Então, o fluxo
é:
Observando os termos:
- Os termos com
ou se anulam quando integramos de a , pois são simétricos e se cancelam. - O único termo que sobra é
.
Então:
Primeiro integramos em
:
Depois, integramos em
:
Resposta
O fluxo de fluido que está cruzando a superfície é de
metros cúbicos por segundo.