Seja f uma função contínua no intervalo [0,3] tal que f(0)=4 e f(3)=-2. Considere a função g definida por g(x)=12 f(x+3)+6.
Determine se cada uma das afirmações abaixo: é sempre verdadeira, pode ser verdadeira ou nunca é verdadeira.
g(c)=7 tem exatamente uma
Escolher…
única solução com c in[-3,0]

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f em [0,3] com f(0)=4 e f(3)=-2, e definimos g(x)=tfrac12f(x+3)+6. A questão pede para classificar se a afirmação “ g(c)=7 tem exatamente uma solução em [-3,0]” é sempre verdadeira, pode ser verdadeira ou nunca verdadeira. Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e discutir monotonicidade.

Passo 2

Como x+3 varia de 0 a 3 quando x varia de -3 a 0, g é contínua em [-3,0]. Calculamos os valores nos extremos:
g(-3)=tfrac12f(0)+6=tfrac12cdot4+6=8,
g(0)=tfrac12f(3)+6=tfrac12cdot(-2)+6=5

Passo 3

Como 7 está entre 8 e 5, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um cin[-3,0] tal que g(c)=7.

Passo 4

Para garantir unicidade de c precisaríamos que g fosse estritamente monotônica em [-3,0]. Isso ocorre, por exemplo, se f for estritamente decrescente em [0,3], pois daí g(x) também decresceria. Mas o enunciado só garante continuidade, não monotonicidade. Logo, podem existir vários pontos onde g(c)=7 se f oscilar.

Passo 5

Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira, nem é impossível: ela depende de f. Em certos casos (como f estritamente decrescente) haverá exatamente uma solução, em outros haverá mais.

Resposta

pode ser verdadeira

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