Seja
uma função contínua no intervalo
tal que
e
. Considere a função
definida por
.
Determine se cada uma das afirmações abaixo: é sempre verdadeira, pode ser verdadeira ou nunca é verdadeira.
tem exatamente uma
Escolher…
única solução com
Determine se cada uma das afirmações abaixo: é sempre verdadeira, pode ser verdadeira ou nunca é verdadeira.
Escolher…
única solução com
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
em
com
e
, e definimos
. A questão pede para classificar se a afirmação “
tem exatamente uma solução em
” é sempre verdadeira, pode ser verdadeira ou nunca verdadeira. Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e discutir monotonicidade.
Passo 2
Como
varia de 0 a 3 quando
varia de
a 0,
é contínua em
. Calculamos os valores nos extremos:
Passo 3
Como
está entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que
.
Passo 4
Para garantir unicidade de
precisaríamos que
fosse estritamente monotônica em
. Isso ocorre, por exemplo, se
for estritamente decrescente em
, pois daí
também decresceria. Mas o enunciado só garante continuidade, não monotonicidade. Logo, podem existir vários pontos onde
se
oscilar.
Passo 5
Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira, nem é impossível: ela depende de
. Em certos casos (como
estritamente decrescente) haverá exatamente uma solução, em outros haverá mais.
Resposta
pode ser verdadeira