ESAF - AFRFB - 2005) Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B:
Produto A 39 33 25 30 41 36 37
Produto B 50 52 47 49 54 40 43
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos:
a) \mathrm{CV}_{\mathrm{A}}=15,1 \% e _{\mathrm{B}}=12,3 \%
b) \mathrm{CV}_{\mathrm{A}}=16,1 \% e \mathrm{CV}_{\mathrm{B}}=10,3 \%
c) \mathrm{CV}_{\mathrm{A}}=16,1 \% e CV _{\mathrm{B}}=12,3 \%
d) \mathrm{CV}_{\mathrm{A}}=15,1 \%{\text { e } \mathrm{CV}_{\mathrm{B}}}=10,3 \%
e) \mathrm{CV}_{\mathrm{A}}=16,1 \% e \mathrm{CV}_{\mathrm{B}}=15,1 \%

Passo 1

O enunciado fornece as quantidades de pedidos em uma semana para os produtos A e B. Os dados são:
\text{Produto A: }39,\;33,\;25,\;30,\;41,\;36,\;37
\text{Produto B: }50,\;52,\;47,\;49,\;54,\;40,\;43
O que se pede: calcular os coeficientes de variação de A e de B e escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Definições e método que vou usar (explicação didática):
  • A média amostral (ou aritmética) de um conjunto de n observações x_1,\dots,x_n é
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui \overline{X} representa o valor médio observado (a média dos pedidos naquela semana).
  • A variância amostral (estimador não-viesado) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{X})^2,
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}.
Explicação rápida: divide-se por n-1 porque estamos estimando a variância a partir de uma amostra (corrige o viés).
  • O coeficiente de variação ( \mathrm{CV}) é a razão entre o desvio padrão e a média, expressa em porcentagem:
\mathrm{CV}=\frac{s}{\overline{X}}\times 100\%.
Vou calcular \overline{X}, s e então \mathrm{CV} para cada produto. Usei esse método porque é o procedimento padrão para comparar dispersões relativas entre séries com médias diferentes.

Passo 3

Cálculo da média para o produto A:
\sum \text{A} = 39+33+25+30+41+36+37 = 241, \qquad n=7,
\overline{X}_A=\frac{241}{7}\approx 34,428571.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral para A (passo a passo das diferenças e quadrados):
Calcule x_i-\overline{X}_A e (x_i-\overline{X}_A)^2 para cada observação (uso frações exatas quando possível):
39-\overline{X}_A=\frac{32}{7},\quad (39-\overline{X}_A)^2=\frac{1024}{49}\approx 20,897959,
33-\overline{X}_A=-\frac{10}{7},\quad (33-\overline{X}_A)^2=\frac{100}{49}\approx 2,040816,
25-\overline{X}_A=-\frac{66}{7},\quad (25-\overline{X}_A)^2=\frac{4356}{49}\approx 88,897959,
30-\overline{X}_A=-\frac{31}{7},\quad (30-\overline{X}_A)^2=\frac{961}{49}\approx 19,612245,
41-\overline{X}_A=\frac{46}{7},\quad (41-\overline{X}_A)^2=\frac{2116}{49}\approx 43,183673,
36-\overline{X}_A=\frac{11}{7},\quad (36-\overline{X}_A)^2=\frac{121}{49}\approx 2,469388,
37-\overline{X}_A=\frac{18}{7},\quad (37-\overline{X}_A)^2=\frac{324}{49}\approx 6,612245.
Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^7 (x_i-\overline{X}_A)^2 = \frac{1024+100+4356+961+2116+121+324}{49}=\frac{9002}{49}\approx 183,714286.
Variância amostral:
s_A^2=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\overline{X}_A)^2=\frac{183,714286}{6}\approx 30,6190476.
Desvio padrão amostral:
s_A=\sqrt{30,6190476}\approx 5,534.
Coeficiente de variação de A:
\mathrm{CV}_A=\frac{s_A}{\overline{X}_A}\times 100\%=\frac{5,534}{34,428571}\times100\%\approx 16,1\%.

Passo 5

Cálculo da média para o produto B:
\sum \text{B} = 50+52+47+49+54+40+43 = 335, \qquad n=7,
\overline{X}_B=\frac{335}{7}\approx 47,857143.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão amostral para B (diferenças e quadrados):
50-\overline{X}_B=\frac{15}{7},\quad (50-\overline{X}_B)^2=\frac{225}{49}\approx 4,591837,
52-\overline{X}_B=\frac{29}{7},\quad (52-\overline{X}_B)^2=\frac{841}{49}\approx 17,163265,
47-\overline{X}_B=-\frac{6}{7},\quad (47-\overline{X}_B)^2=\frac{36}{49}\approx 0,734694,
49-\overline{X}_B=\frac{8}{7},\quad (49-\overline{X}_B)^2=\frac{64}{49}\approx 1,306122,
54-\overline{X}_B=\frac{43}{7},\quad (54-\overline{X}_B)^2=\frac{1849}{49}\approx 37,734694,
40-\overline{X}_B=-\frac{55}{7},\quad (40-\overline{X}_B)^2=\frac{3025}{49}\approx 61,734694,
43-\overline{X}_B=-\frac{34}{7},\quad (43-\overline{X}_B)^2=\frac{1156}{49}\approx 23,591837.
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^7 (x_i-\overline{X}_B)^2=\frac{225+841+36+64+1849+3025+1156}{49}=\frac{7200}{49}\approx 146,857143.
Variância amostral:
s_B^2=\frac{146,857143}{6}\approx 24,4761905.
Desvio padrão amostral:
s_B=\sqrt{24,4761905}\approx 4,947.
Coeficiente de variação de B:
\mathrm{CV}_B=\frac{s_B}{\overline{X}_B}\times 100\%=\frac{4,947}{47,857143}\times100\%\approx 10,3\%.

Passo 7

Interpretação final e comparação com as alternativas: obtive
\mathrm{CV}_A\approx 16,1\%,\qquad \mathrm{CV}_B\approx 10,3\%.
Essa correspondência aparece na alternativa (b).

Resposta

b) \mathrm{CV}_{\mathrm{A}}=16,1\% e \mathrm{CV}_{\mathrm{B}}=10,3\%

Exercícios relacionados