( Laboratório) Um grupo de 5 nadadores está sendo treinado em competições de 25 m , nado livre.
Os resultados do treinamento estão na tabela abaixo.
T1
T2
T3
T4
T5
Joāo
12,45
12,34
12,21
12,08
11,57
José
12,57
12,5
12,47
12,32
12,03
Carlos
12,01
11,59
11,54
11,47
11,43
Maurício
11,49
11,48
11,48
11,47
11,49
Antônio
12,32
12,3
12,29
12,2
12,17
Notas: T1, T2, …, T5 são os tempos em segundos.
a) Calcule média, mediana, desvio padrão do grupo;
b) Calcule média, mediana, desvio padrão de cada nadador;
c) Qual nadador é mais regular nos tempos?( Use o CV para analise);
c) Analise a performance do Carlos em relação ao grupo(escore padronizado)
Passo 1
O enunciado dá os tempos (em segundos) de 5 nadadores em 5 tentativas (T1–T5) e pede:
(a) calcular média, mediana e desvio padrão do grupo (todos os 25 tempos juntos);
(b) calcular média, mediana e desvio padrão de cada nadador (cada linha);
(c) indicar qual nadador é mais regular usando o coeficiente de variação (CV);
(c) analisar a performance do Carlos em relação ao grupo usando escore padronizado (z-score).
Os dados fornecidos (tempos em segundos) são:
João: 12,45,\;12,34,\;12,21,\;12,08,\;11,57.
José: 12,57,\;12,50,\;12,47,\;12,32,\;12,03.
Carlos: 12,01,\;11,59,\;11,54,\;11,47,\;11,43.
Maurício: 11,49,\;11,48,\;11,48,\;11,47,\;11,49.
Antônio: 12,32,\;12,30,\;12,29,\;12,20,\;12,17.
Observação: não foi especificado no enunciado se o desvio deve ser amostral ou populacional. Aqui vou usar o desvio padrão amostral (fórmula com n-1 no denominador), que é o uso padrão quando se tratam de observações de um conjunto experimental/treino e se pretende estimar variabilidade.
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vou usar (com interpretação de cada símbolo), de forma prática:
Média aritmética (média simples) de n observações x_1,\dots,x_n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde \bar{x} é a média e x_i cada tempo.
Mediana: para n ímpar, é o valor da observação central quando os dados estão ordenados; para n par, é a média das duas centrais. Aqui cada nadador tem n=5 (ímpar) e o grupo tem n=25 (ímpar), então a mediana é a 3.ª observação ordenada por nadador e a 13.ª observação ordenada para o grupo.
onde s mede a dispersão dos tempos em torno da média; n-1 corrige o viés quando usamos a amostra para estimar a variabilidade.
Coeficiente de variação (CV), usado para comparar regularidade entre nadadores com médias diferentes:
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%
menor \mathrm{CV} significa maior regularidade (menos variação relativa à média).
Escore padronizado (z-score) de um valor x em relação à média do grupo \mu e desvio padrão do grupo \sigma (ou \bar{x} e s se usarmos amostral):
z=\frac{x-\bar{x}_{grupo}}{s_{grupo}}
No caso de comparar um nadador inteiro com o grupo, uso o z da média do nadador: z=(\bar{x}_{nadador}-\bar{x}_{grupo})/s_{grupo}. Interpretação: z<0 significa tempo abaixo da média do grupo (mais rápido), z>0 significa acima (mais lento). O valor de |z| diz quantos desvios-padrão a diferença representa.
Passo 3
Vou calcular para cada nadador: soma, média \bar{x}, mediana (valor central ordenado) e desvio padrão amostral s. Faço os cálculos mostrando passo a passo para um nadador e depois mostro os resultados dos demais.
Exemplo detalhado: João
Soma: 12,45+12,34+12,21+12,08+11,57=60,65.
Média:
\bar{x}_{João}=\frac{60,65}{5}=12,13.ã
Ordenando os tempos: 11,57,\;12,08,\;12,21,\;12,34,\;12,45 → mediana =12,21.
Desvio padrão amostral: primeiro diferenças à média e quadrados:
Para a mediana do grupo (ordenando os 25 tempos), o valor central é o 13.º. Ordenando todos os tempos (lista crescente) obtém-se como 13.º valor =12,08. Portanto mediana do grupo =12,08.
Passo 6
Usando a média do grupo \bar{x}_{grupo}=11,9708, cálculo das diferenças ao quadrado e soma (mostrada de forma resumida). Soma das diferenças ao quadrado (para as 25 observações) deu aproximadamente 4,10425.
Assim, o grupo tem média \approx11,97 s, mediana =12,08 s e desvio padrão \approx0,41 s.
Passo 7
Vou comparar a média de Carlos \bar{x}_{Carlos}=11,608 com a média do grupo \bar{x}_{grupo}=11,9708 usando o desvio padrão do grupo s_{grupo}\approx0,4136.
Interpretação: z\approx -0,88 significa que a média de Carlos está cerca de 0,88 desvios-padrão abaixo da média do grupo. Como tempos menores são melhores (mais rápidos), isso indica que Carlos é mais rápido que a média do grupo — ele está cerca de 0,88 s.d. melhor que a média. Em termos práticos, Carlos tem desempenho superior à média do grupo, mas não extremamente distante (menos de 1 desvio-padrão).
Passo 8
Para cada nadador: média indica tendência central (tempo típico), mediana mostra o tempo central sem ser sensível a um outlier, desvio padrão dá a variabilidade absoluta e o CV dá variabilidade relativa (útil para comparar regularidade entre nadadores com médias diferentes).
Maurício é o mais regular (menor CV). Carlos tem a melhor média (mais baixo tempo médio) entre o grupo e seu z negativo confirma que ele está abaixo (melhor) da média do grupo em cerca de 0,88 desvios-padrão.
Na prova: para calcular rápido, primeiro some as 5 observações para obter a média do nadador; para o desvio padrão calcule as diferenças à média, eleve ao quadrado, some, divida por n-1=4 e tire raiz quadrada. Para o CV divida s pela média. Para comparar com o grupo use z com a média e s do grupo.
(b) João: média =12,13\\ \text{s}, mediana =12,21\\ \text{s}, s\approx0,34\\ \text{s}.
José: média =12,38\\ \text{s}, mediana =12,47\\ \text{s}, s\approx0,21\\ \text{s}.
Carlos: média =11,61\\ \text{s}, mediana =11,54\\ \text{s}, s\approx0,23\\ \text{s}.
Maurício: média =11,48\\ \text{s}, mediana =11,48\\ \text{s}, s\approx0,0084\\ \text{s}.
Antônio: média =12,26\\ \text{s}, mediana =12,29\\ \text{s}, s\approx0,067\\ \text{s}.
(c) Nadador mais regular (menor CV): Maurício (\mathrm{CV}\approx0,073\%).
(c) Escore padronizado (média de Carlos vs grupo): z\approx -0,88 (Carlos está cerca de 0,88 desvios-padrão abaixo da média do grupo — ou seja, mais rápido que a média).