(UNESP) Curiosamente, observou-se que, em janeiro de 2002, o número x, de ocorrências registradas em certa Companhia, era tal que \log _{2} x+\log _{2} 2 x=13. Nessas condições, x é um número:
a) menor que 10 .
b) maior que 10 e menor que 25 .
c) maior que 25 e menor que 40.
d) maior que 40 e menor que 60 .
e) maior que 60 .

Passo 1

O enunciado diz que, em janeiro de 2002, o número x de ocorrências satisfaz
\log_{2} x + \log_{2} 2x = 13.
Pergunta: dentre as alternativas dadas, em qual intervalo x se encontra?
As alternativas são:
(a) menor que 10.
(b) maior que 10 e menor que 25.
(c) maior que 25 e menor que 40.
(d) maior que 40 e menor que 60.
(e) maior que 60.

Passo 2

Condição de existência: lembramos que \log_{2} x está definido somente quando x>0. Portanto temos a restrição
x>0.
Isso nos diz que, se a solução algébrica der raízes negativas, devemos descartá‑las.

Passo 3

Propriedade de logaritmos necessária: para qualquer base a>0 com a\neq1 e números positivos b e c,
\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc).
Explicando rápido o porquê: se \log_{a} b = p então a^{p}=b; se \log_{a} c = q então a^{q}=c. Multiplicando dá a^{p+q}=bc, logo \log_a(bc)=p+q.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso (com b=x e c=2x), obtemos
\log_{2} x + \log_{2} 2x = \log_{2} (x\cdot 2x) = \log_{2} (2x^{2}).

Passo 5

Substituindo na equação original ficamos com
\log_{2} (2x^{2}) = 13.
Agora usamos a definição inversa do logaritmo: se \log_{2} Y = 13 então Y = 2^{13}. Assim
2x^{2} = 2^{13}.

Passo 6

Isolamos x^{2}:
x^{2} = 2^{13-1} = 2^{12}.
Sabendo que 2^{10}=1024, temos 2^{12}=4\cdot 1024=4096. Então
x^{2}=4096.

Passo 7

Extraindo raiz quadrada:
x = \pm \sqrt{4096} = \pm 64.
Mas pelo Passo 2 precisamos de x>0, logo descartamos a raiz negativa. Portanto
x=64.

Passo 8

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): \log_{2}64=6 e \log_{2}(2\cdot64)=\log_{2}128=7. Soma 6+7=13, confirma.

Passo 9

Comparando com as alternativas, x=64 é maior que 60. Então a alternativa correta é a (e).

Resposta

(e) maior que 60

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