1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(c) toda seqüência limitada é monótona;

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda sequência limitada é monótona”. Aqui usamos as definições:
– Uma sequência (an) é limitada se existe M>0 tal que |an|<= M para todo n.
– Uma sequência é monótona se é sempre não decrescente ( an+1>= an) ou sempre não crescente ( an+1<= an).

Passo 2

Para ver que isso é falso, basta um contra-exemplo. Considere a sequência
an = (-1)^n
Temos |an|<=1 para todo n, logo (an) é limitada. Mas os termos alternam entre -1 e 1, ou seja
a1=-1, a2=1, a3=-1, a4=1,dots
Logo não existe N tal que para todo n>= N tenhamos sempre an+1>= an nem sempre an+1<= an. Assim (an) não é monótona.

Resposta

Falso. Contra-exemplo: an = (-1)^n.

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