Esboçando a região correspondente, calcule cada integral definida utilizando fórmula de cálculo de área da geometria elementar. Depois, compare seu resultado fazendo uso do TFC.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
de duas maneiras:
– usando a área geométrica da região sob a reta ,
– e comparando com o resultado pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Para isso, esboçamos o gráfico de , identificamos onde cruza o eixo
e aplicamos fórmulas de área de triângulo; em seguida, obtemos uma primitiva de
e avaliamos de 0 a 4.
– usando a área geométrica da região sob a reta
– e comparando com o resultado pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Para isso, esboçamos o gráfico de
Passo 2
Esboçando
:
em ,
;
em ,
.
A reta cruza o eixo quando
em
em
A reta cruza o eixo
ou seja em
.
Passo 3
Na parte de
a
,
e a região é um triângulo de base
e altura
. Sua área é
Passo 4
Na parte de
a
,
e a região está abaixo do eixo
, também um triângulo de base
e altura
. Sua área algébrica é
Passo 5
Somando as áreas algébricas, obtemos
Passo 6
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, uma primitiva de
é
Logo,
confirmando o resultado geométrico.