Esboçando a região correspondente, calcule cada integral definida utilizando fórmula de cálculo de área da geometria elementar. Depois, compare seu resultado fazendo uso do TFC.
integral0^4 4-2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^4(4-2x),dx de duas maneiras:
– usando a área geométrica da região sob a reta f(x)=4-2x,
– e comparando com o resultado pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Para isso, esboçamos o gráfico de f, identificamos onde cruza o eixo x e aplicamos fórmulas de área de triângulo; em seguida, obtemos uma primitiva de f e avaliamos de 0 a 4.

Passo 2

Esboçando f(x)=4-2x:
em x=0, f(0)=4;
em x=4, f(4)=4-8=-4.
A reta cruza o eixo x quando
4-2x=0,
ou seja em x=2.

Passo 3

Na parte de x=0 a x=2, f(x)>=0 e a região é um triângulo de base 2 e altura 4. Sua área é
A1 = 12cdot 2cdot 4 = 4

Passo 4

Na parte de x=2 a x=4, f(x)<=0 e a região está abaixo do eixo x, também um triângulo de base 2 e altura lvert f(4)rvert=4. Sua área algébrica é
A2 = -,12cdot 2cdot 4 = -4

Passo 5

Somando as áreas algébricas, obtemos
integral0^4(4-2x),dx = A1 + A2 = 4 + (-4) = 0

Passo 6

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, uma primitiva de 4-2x é
F(x) = 4x - x^2
Logo,
F(4) - F(0) = (16 - 16) - 0 = 0,
confirmando o resultado geométrico.

Resposta

integral0^4(4-2x),dx = 0

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