Esboçar e calcular a área da região limitada por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A primeira curva é
. - A segunda curva é
. - Queremos a região limitada por essas duas curvas (ou seja, a região que fica entre elas onde elas se cruzam).
Passo 2
Primeira tarefa técnica: detectar as interseções entre as curvas, porque a região limitada estará entre esses pontos de interseção.
Observação útil (re-escrita da parábola):
Isto mostra que a parábola tem vértice no ponto
.
Para lidar com o valor absoluto, use a variável de deslocamento
Então
e
. As interseções satisfazem
Agora resolvemos por casos, que é a técnica correta para equações com valor absoluto.
Passo 3
Caso 1:
. Então
e a equação fica
Usando a fórmula quadrática, as raízes são
Como aqui exigimos
, ficamos com
Portanto, a interseção correspondente é
Caso 2:
. Então
e a equação vira
As raízes são
Aqui precisamos de
, então escolhemos
Assim a outra interseção é
Concluímos que as interseções ocorrem em
Passo 4
Antes de integrar, é bom entender qual curva está acima da outra entre
e
.
Avalie em
(ponto médio lógico):
e
. Logo
está acima de
em
. Pelas formas das curvas (V deslocado para a direita e parábola com vértice um pouco abaixo), isso indica que, entre
e
, a função superior é
e a inferior é
. Portanto a área pedida é
Passo 5
Para facilitar a integral, use novamente
, que desloca o intervalo para
com
. Com
temos
A função integranda é par (mesma para
e
), porque
,
e
são funções pares. Assim podemos usar simetria:
Passo 6
Calcule a integral básica. Uma primitiva de
é
Avalie de
a
:
Portanto
Agora use as identidades da razão áurea
:
Substituindo:
Colocando em denominador comum:
Substitua
:
Passo 7
Descrição do esboço (útil para a prova — desenhe isso):
- O vértice de
está em ; é um “V” simétrico em torno de . - A parábola
tem vértice em , abre para cima. - As duas curvas se cruzam em
e . Entre esses a curva fica acima da parábola, formando uma região fechada em forma de “casca” entre o V e a parábola. - Para esboçar: marque os vértices
e , marque os pontos de interseção calculados e desenhe o V e a parábola unindo esses pontos.
Resposta
Esboço: vértice de
em
, vértice de
em
, interseções em
e
; região limitada fica entre essas interseções, com
acima.
Área: