Esboçar e calcular a área da região limitada por y=|x-1|_{\mathrm{e}} y=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas y=|x-1| e y=x^{2}-2x.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A primeira curva é y=|x-1|.
  • A segunda curva é y=x^{2}-2x.
  • Queremos a região limitada por essas duas curvas (ou seja, a região que fica entre elas onde elas se cruzam).

Passo 2

Primeira tarefa técnica: detectar as interseções entre as curvas, porque a região limitada estará entre esses pontos de interseção.
Observação útil (re-escrita da parábola):
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.
Isto mostra que a parábola tem vértice no ponto (1,-1).
Para lidar com o valor absoluto, use a variável de deslocamento
u=x-1.
Então y=|x-1|=|u| e x^{2}-2x=u^{2}-1. As interseções satisfazem
|u|=u^{2}-1.
Agora resolvemos por casos, que é a técnica correta para equações com valor absoluto.

Passo 3

Caso 1: u\ge 0. Então |u|=u e a equação fica
u=u^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad u^{2}-u-1=0.
Usando a fórmula quadrática, as raízes são
u=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como aqui exigimos u\ge0, ficamos com
u=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \equiv \varphi.
Portanto, a interseção correspondente é
x=1+u=1+\varphi=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.
Caso 2: u<0. Então |u|=-u e a equação vira
-u=u^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad u^{2}+u-1=0.
As raízes são
u=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Aqui precisamos de u<0, então escolhemos
u=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\varphi.
Assim a outra interseção é
x=1+u=1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Concluímos que as interseções ocorrem em
x_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\qquad x_{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Antes de integrar, é bom entender qual curva está acima da outra entre x_{1} e x_{2}.
Avalie em x=1 (ponto médio lógico): |1-1|=0 e 1^{2}-2\cdot1=-1. Logo y=|x-1| está acima de y=x^{2}-2x em x=1. Pelas formas das curvas (V deslocado para a direita e parábola com vértice um pouco abaixo), isso indica que, entre x_{1} e x_{2}, a função superior é y=|x-1| e a inferior é y=x^{2}-2x. Portanto a área pedida é
\text{Área}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\big(|x-1|-(x^{2}-2x)\big)\,dx.Á

Passo 5

Para facilitar a integral, use novamente u=x-1, que desloca o intervalo para [-\,\varphi,\varphi] com \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}. Com dx=du temos
\text{Área}=\int_{-\varphi}^{\varphi}\big(|u|-(u^{2}-1)\big)\,du =\int_{-\varphi}^{\varphi}\big(|u|-u^{2}+1\big)\,du.Á
A função integranda é par (mesma para u e -u), porque |u|, u^{2} e 1 são funções pares. Assim podemos usar simetria:
\text{Área}=2\int_{0}^{\varphi}\big(u-u^{2}+1\big)\,du.Á

Passo 6

Calcule a integral básica. Uma primitiva de u-u^{2}+1 é
F(u)=u+\frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{3}}{3}.
Avalie de 0 a \varphi:
\int_{0}^{\varphi}\big(u-u^{2}+1\big)\,du =F(\varphi)-F(0)=\varphi+\frac{\varphi^{2}}{2}-\frac{\varphi^{3}}{3}.
Portanto
\text{Área}=2\Big(\varphi+\frac{\varphi^{2}}{2}-\frac{\varphi^{3}}{3}\Big) =2\varphi+\varphi^{2}-\frac{2\varphi^{3}}{3}.Á
Agora use as identidades da razão áurea \varphi:
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad \varphi^{2}=\varphi+1,\qquad \varphi^{3}=2\varphi+1.
Substituindo:
\text{Área}=2\varphi+(\varphi+1)-\frac{2(2\varphi+1)}{3} =3\varphi+1-\frac{4\varphi+2}{3}.Á
Colocando em denominador comum:
\text{Área}=\frac{9\varphi+3-(4\varphi+2)}{3}=\frac{5\varphi+1}{3}.Á
Substitua \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}:
\text{Área}=\frac{5\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1}{3} =\frac{\frac{5+5\sqrt{5}}{2}+1}{3} =\frac{7+5\sqrt{5}}{6}.Á

Passo 7

Descrição do esboço (útil para a prova — desenhe isso):
  • O vértice de y=|x-1| está em (1,0); é um “V” simétrico em torno de x=1.
  • A parábola y=x^{2}-2x tem vértice em (1,-1), abre para cima.
  • As duas curvas se cruzam em x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} e x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}. Entre esses x a curva y=|x-1| fica acima da parábola, formando uma região fechada em forma de “casca” entre o V e a parábola.
  • Para esboçar: marque os vértices (1,0) e (1,-1), marque os pontos de interseção calculados e desenhe o V e a parábola unindo esses pontos.

Resposta

Esboço: vértice de y=|x-1| em (1,0), vértice de y=x^{2}-2x em (1,-1), interseções em x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} e x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}; região limitada fica entre essas interseções, com y=|x-1| acima.
Área: \dfrac{7+5\sqrt{5}}{6}

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