Calcular o comportamento de arco da curva y=x^{\frac{3}{2}}-4, do ponto \mathrm{A}=(1 ;-3) até o ponto B=(4 ; 4). (se repetiu em outra prova)

Passo 1

O enunciado dá a curva y=x^{\frac{3}{2}}-4 e pede o comprimento de arco (o “comportamento de arco”) da curva entre os pontos \mathrm{A}=(1;-3) e \mathrm{B}=(4;4).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função: } y=x^{\frac{3}{2}}-4.çã
\text{Ponto inicial: } x=1 \quad\text{(corresponde a }y(1)=1^{3/2}-4=-3\text{, que é }A).é
\text{Ponto final: } x=4 \quad\text{(corresponde a }y(4)=4^{3/2}-4=8-4=4\text{, que é }B).é
O que se pede: calcular o comprimento de arco da curva entre x=1 e x=4.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x), suave em [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicação didática curta: imagine a curva dividida em muitos pedaços pequenos. Cada pedaço é aproximadamente um segmento de reta de comprimento \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Dividindo por \Delta x e passando ao limite obtemos \sqrt{1+(dy/dx)^{2}}\,dx. Aqui f'(x)=dy/dx é a derivada da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada y'(x) necessária na fórmula. Usamos a regra do poder: se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando a y=x^{\frac{3}{2}}-4:
y'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.
Agora o quadrado da derivada:
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}=\frac{9}{4}x.

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento de arco com limites a=1 e b=4:
L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx.
Para calcular essa integral, fazemos a substituição linear usual. Defina
u=1+\frac{9}{4}x.
Derivando, obtemos
du=\frac{9}{4}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{4}{9}\,du.
Mudança dos limites:
\text{quando }x=1,\; u=1+\frac{9}{4}\cdot1=\frac{13}{4},
\text{quando }x=4,\; u=1+\frac{9}{4}\cdot4=1+9=10.

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
L=\int_{u=\frac{13}{4}}^{u=10}\sqrt{u}\cdot\frac{4}{9}\,du=\frac{4}{9}\int_{\frac{13}{4}}^{10}u^{\frac{1}{2}}\,du.
Integramos u^{\frac{1}{2}}. A antiderivada de u^{\alpha} é \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} (para \alpha\neq -1). Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}, então a antiderivada é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Logo
L=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{13}{4}}^{10}=\frac{8}{27}\left(10^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\right).
Agora simplificamos a expressão. Observando que 10^{\frac{3}{2}}=10\sqrt{10} e \left(\dfrac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}}=\dfrac{13^{\frac{3}{2}}}{8}=\dfrac{13\sqrt{13}}{8}, temos
L=\frac{8}{27}\cdot 10\sqrt{10}-\frac{8}{27}\cdot\frac{13\sqrt{13}}{8}=\frac{1}{27}\bigl(80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\bigr).

Passo 6

Podemos também apresentar um valor aproximado (útil para conferir rapidez na prova). Calculando numericamente:
L\approx 7,6337\quad(\text{arredondado a 4 casas decimais}).

Resposta

L=\frac{1}{27}\bigl(80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\bigr)
L\approx 7,6337

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