Calcular o comportamento de arco da curva
, do ponto
até o ponto
. (se repetiu em outra prova)
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede o comprimento de arco (o “comportamento de arco”) da curva entre os pontos
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: calcular o comprimento de arco da curva entre
e
.
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por
, suave em
:
Explicação didática curta: imagine a curva dividida em muitos pedaços pequenos. Cada pedaço é aproximadamente um segmento de reta de comprimento
. Dividindo por
e passando ao limite obtemos
. Aqui
é a derivada da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
necessária na fórmula. Usamos a regra do poder: se
, então
. Aplicando a
:
Agora o quadrado da derivada:
Passo 4
Substituímos na fórmula do comprimento de arco com limites
e
:
Para calcular essa integral, fazemos a substituição linear usual. Defina
Derivando, obtemos
Mudança dos limites:
Passo 5
Substituindo tudo na integral:
Integramos
. A antiderivada de
é
(para
). Aqui
, então a antiderivada é
. Logo
Agora simplificamos a expressão. Observando que
e
, temos
Passo 6
Podemos também apresentar um valor aproximado (útil para conferir rapidez na prova). Calculando numericamente: