Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
r(t)=(t-sen t, 1-cos t), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica vec r(t)=(t-sin t,,1-cos t), com tin[0,2pi]. Primeiro precisamos esboçar essa curva e indicar a direção positiva (isto é, conforme t cresce). Em seguida, devemos encontrar outra parametrização que percorra exatamente a mesma curva, mas no sentido oposto.

Passo 2

Para esboçar, calculamos alguns pontos-chave: em t=0 temos
vec r(0)=(0-0,,1-1)=(0,0),
em t=pi
vec r(pi)=(pi-0,,1-(-1))=(pi,2),
e em t=2pi
vec r(2pi)=(2pi-0,,1-1)=(2pi,0)
Isso é exatamente um arco de cicloide de raio 1: começa em (0,0), faz um “arco” máximo em (pi,2) e retorna a (2pi,0). À medida que t cresce de 0 a 2pi, o ponto se move da esquerda para a direita. Podemos desenhar essa curva acima do eixo x, com setas apontando para a direita conforme t aumenta.

Passo 3

Para inverter o sentido, fazemos a troca de parâmetro
u=2pi - t,
com u também variando em [0,2pi]. Substituindo na expressão original,
vec r(2pi - t)=l((2pi - t)-sin(2pi - t),;1-cos(2pi - t)r)
usamos sin(2pi - t)=-sin t e cos(2pi - t)=cos t e obtemos
vec R(t)=l(2pi - t+sin t,;1-cos tr), tin[0,2pi]
Essa parametrização percorre a mesma curva, mas começa em (2pi,0) quando t=0 e vai até (0,0) quando t=2pi), invertendo, assim, o sentido de percurso.

Resposta

Uma parametrização com sentido invertido é
vec R(t)=l(2pi - t+sin t,;1-cos tr), tin[0,2pi]

Exercícios relacionados