Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
, com
. Primeiro precisamos esboçar essa curva e indicar a direção positiva (isto é, conforme
cresce). Em seguida, devemos encontrar outra parametrização que percorra exatamente a mesma curva, mas no sentido oposto.
Passo 2
Para esboçar, calculamos alguns pontos-chave: em
temos
em
e em
Isso é exatamente um arco de cicloide de raio 1: começa em
, faz um “arco” máximo em
e retorna a
. À medida que
cresce de 0 a
, o ponto se move da esquerda para a direita. Podemos desenhar essa curva acima do eixo
, com setas apontando para a direita conforme
aumenta.
Passo 3
Para inverter o sentido, fazemos a troca de parâmetro
com
também variando em
. Substituindo na expressão original,
usamos
e
e obtemos
Essa parametrização percorre a mesma curva, mas começa em
quando
e vai até
quando
, invertendo, assim, o sentido de percurso.
Resposta
Uma parametrização com sentido invertido é