Calcule:
integral0^1 x raiz2 x^2+1 d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral0^1 xraiz2x^2+1,dx. O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição: quando aparece a raiz de uma expressão quadrática junto com x,dx, escolhemos u para simplificar a parte dentro da raiz e usar du para trocar x,dx.

Passo 2

Definimos a substituição para eliminar a raiz. Seja
u = 2x^2 + 1,
logo, derivando ambos os lados,
du = 4x,dx Longrightarrow x,dx = du4

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração. Quando x=0, temos u = 2cdot0^2+1 = 1. Quando x=1, u = 2cdot1^2+1 = 3. Assim,
integral0^1 xraiz2x^2+1,dx = integralu=1^u=3 raizu;du4 = 14integral1^3 u^1/2,du

Passo 4

Agora integramos u^1/2. A antiderivada de u^1/2 é
u^3/23/2 = 23u^3/2
Multiplicando pelo fator 1/4 fica
14cdot 23u^3/2 = 16u^3/2

Passo 5

Por fim, avaliamos nos limites de u=1 a u=3:
16l[u^3/2r]1^3 = 16l(3^3/2 - 1^3/2r) = 16l(3raiz3 - 1r)

Resposta

3raiz3-16

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