Nos exercícios abaixo, classifique as equações diferenciais dadas quanto à linearidade e ordem. Indique o termo não linear, quando for o caso.
(1-x) y^prime prime-4 x y^prime+5 y=cos (2 x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para classificar uma equação diferencial quanto à linearidade e à ordem. A equação que a gente vai analisar é:
(1-x) y'' - 4x y' + 5 y = cos(2x)
Vamos precisar entender o que significa ordem e linearidade em equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ordem da equação diferencial. A ordem é simplesmente o maior derivado que aparece na equação. Olhando para a nossa equação:
  • y'' é a segunda derivada
  • y' é a primeira derivada
  • y é a função original
Aqui, o maior derivado é y'', que é a segunda derivada. Então, a ordem da equação é segunda.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(x) y^(n) + an-1(x) y^(n-1) + dots + a1(x) y' + a0(x) y = g(x)
Ou seja, os termos com a função y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (não estão multiplicados entre si nem têm funções não lineares aplicadas a eles).
Vamos ver se a nossa equação segue essa regra:
(1-x) y'' - 4x y' + 5 y = cos(2x)
- O termo (1-x) y'' é linear porque y'' está multiplicado por uma função de x apenas.
- O termo -4x y' também é linear.
- O termo 5 y é linear.
- Do lado direito, cos(2x) é só uma função de x, sem envolvimento com y.
Não tem nenhum termo onde y ou suas derivadas estão multiplicados entre si ou têm alguma função não linear aplicada. Então, a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial dada é linear de segunda ordem.

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