Obtenha os pontos da curva
nos quais a tangente é vertical ou horizontal, se as equações paramétricas para essa curva são:
(a) ( ) vertical em
, horizontal em
e
(b) ( ) vertical em
, horizontal em
© ( ) vertical em
, horizontal em nenhum ponto
(d)
vertical em
e
, horizontal em
(e) ( ) vertical em nenhum ponto, horizontal em
(a) ( ) vertical em
(b) ( ) vertical em
© ( ) vertical em
(d)
(e) ( ) vertical em nenhum ponto, horizontal em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos da curva $ y(x) $ onde a tangente é vertical ou horizontal. Pra isso, temos que usar as equações paramétricas da curva:
Vamos precisar calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $ e, em seguida, usar a regra da cadeia para encontrar onde a inclinação da tangente é zero ou indefinida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Essas derivadas nos dão as taxas de variação de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 3
Agora, para achar a inclinação da tangente $ \frac{dy}{dx} $, usamos a regra da cadeia:
Queremos saber onde essa inclinação é zero (horizontal) ou indefinida (vertical).
Passo 4
Tangente Horizontal: A inclinação é zero quando o numerador da fração $ \frac{dy}{dx} $ é zero:
Então, quando $ t = 1 $, a tangente é horizontal.
Tangente Vertical: A inclinação é indefinida quando o denominador é zero:
Portanto, quando $ t = 2 $ ou $ t = -2 $, a tangente é vertical.
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas $ (x, y) $ correspondentes aos valores de $ t $ que encontramos.
Para $ t = 1 $ (Tangente Horizontal):
Então, o ponto é $ (-11, -2) $.
Para $ t = 2 $ (Tangente Vertical):
Então, o ponto é $ (-16, -1) $.
Para $ t = -2 $ (Tangente Vertical):
Então, o ponto é $ (16, 7) $.
Resposta
A alternativa correta é a (d): tangente vertical em $ (-16, -1) $ e $ (16, 7) $, e tangente horizontal em $ (-11, -2) $.