Obtenha os pontos da curva y(x) nos quais a tangente é vertical ou horizontal, se as equações paramétricas para essa curva são: x(t)=t^3-12 t, y(t)=t^2-2 t-1
(a) ( ) vertical em (0,-1), horizontal em (-5-7 raiz2, 0) e (-5+7 raiz2, 0)
(b) ( ) vertical em (-16,-1), horizontal em (-11 -2)
© ( ) vertical em (11,2), horizontal em nenhum ponto
(d) ( vertical em (-16,-1) e (16,7), horizontal em (-11 -2)
(e) ( ) vertical em nenhum ponto, horizontal em (0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos da curva $ y(x) $ onde a tangente é vertical ou horizontal. Pra isso, temos que usar as equações paramétricas da curva:
y(x)
Vamos precisar calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $ e, em seguida, usar a regra da cadeia para encontrar onde a inclinação da tangente é zero ou indefinida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
x(t)
y(t)
Essas derivadas nos dão as taxas de variação de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Agora, para achar a inclinação da tangente $ \frac{dy}{dx} $, usamos a regra da cadeia:
dydx
Queremos saber onde essa inclinação é zero (horizontal) ou indefinida (vertical).

Passo 4

Tangente Horizontal: A inclinação é zero quando o numerador da fração $ \frac{dy}{dx} $ é zero:
dydx
Então, quando $ t = 1 $, a tangente é horizontal.
Tangente Vertical: A inclinação é indefinida quando o denominador é zero:
2t - 2 = 0 implies t = 1
Portanto, quando $ t = 2 $ ou $ t = -2 $, a tangente é vertical.

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas $ (x, y) $ correspondentes aos valores de $ t $ que encontramos.
Para $ t = 1 $ (Tangente Horizontal):
(x, y)
t
Então, o ponto é $ (-11, -2) $.
Para $ t = 2 $ (Tangente Vertical):
t = 1
x(1) = 1^3 - 12 times 1 = 1 - 12 = -11
Então, o ponto é $ (-16, -1) $.
Para $ t = -2 $ (Tangente Vertical):
y(1) = 1^2 - 2 times 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2
(-11, -2)
Então, o ponto é $ (16, 7) $.

Resposta

A alternativa correta é a (d): tangente vertical em $ (-16, -1) $ e $ (16, 7) $, e tangente horizontal em $ (-11, -2) $.

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