Marque a alternativa correta para a cônica
.
(a) () O centro fica no ponto
.
(b) ( ) A excentricidade vale
.
© ( ) O semieixo maior vale 8 e o semieixo menor vale 2.
(d) ( ) Os vértices estão nos pontos
e
.
(e) ( ) Os focos estão nos pontos
e
(a) () O centro fica no ponto
(b) ( ) A excentricidade vale
© ( ) O semieixo maior vale 8 e o semieixo menor vale 2.
(d) ( ) Os vértices estão nos pontos
(e) ( ) Os focos estão nos pontos
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica:
. Nosso objetivo é identificar qual das alternativas (a) a (e) está correta em relação a essa cônica. Para isso, vamos precisar entender sobre elipses, completar o quadrado e calcular características como excentricidade e semieixos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para completar o quadrado de
:
Passo 4
Em seguida, completamos o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o 4:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Então,
Passo 5
Substituímos as expressões completadas na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, colocamos a equação na forma padrão da elipse dividindo todos os termos por 16:
Passo 7
Na forma padrão
, podemos identificar:
- Centro da elipse:
-
então (semieixo maior) -
então (semieixo menor)
Passo 8
Vamos calcular a excentricidade
da elipse usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 9
Com base nos cálculos:
- O centro está em
(a alternativa a está incorreta, pois menciona ). - A excentricidade é
(a alternativa b está correta). - Os semieixos são 4 e 2, não 8 e 2 (alternativa c incorreta).
- Os vértices não estão nos pontos mencionados (alternativa d incorreta).
- Os focos não correspondem aos pontos dados (alternativa e incorreta).
Resposta
A alternativa correta é a (b) A excentricidade vale
.