Marque a alternativa correta para a cônica x^2+4 y^2-2 x+16 y+1=0.
(a) () O centro fica no ponto (1,2).
(b) ( ) A excentricidade vale raiz3 / 2.
© ( ) O semieixo maior vale 8 e o semieixo menor vale 2.
(d) ( ) Os vértices estão nos pontos (-4,0),(4,0),(0,-2) e (0,2).
(e) ( ) Os focos estão nos pontos (-3,-2) e (5,-2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica: x^2 + 4y^2 - 2x + 16y + 1 = 0. Nosso objetivo é identificar qual das alternativas (a) a (e) está correta em relação a essa cônica. Para isso, vamos precisar entender sobre elipses, completar o quadrado e calcular características como excentricidade e semieixos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de x e de y:
x^2 - 2x + 4y^2 + 16y = -1

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x. Para completar o quadrado de x^2 - 2x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1

Passo 4

Em seguida, completamos o quadrado para os termos de y. Primeiro, fatoramos o 4:
4y^2 + 16y = 4(y^2 + 4y)
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
Então,
4(y^2 + 4y) = 4(y + 2)^2 - 16

Passo 5

Substituímos as expressões completadas na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + 4(y + 2)^2 - 16 = -1
Simplificando:
(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2 - 17 = -1
(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2 = 16

Passo 6

Agora, colocamos a equação na forma padrão da elipse dividindo todos os termos por 16:
(x - 1)^216 + (y + 2)^24 = 1

Passo 7

Na forma padrão (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1, podemos identificar:
  • Centro da elipse: (h, k) = (1, -2)
  • a^2 = 16 então a = 4 (semieixo maior)
  • b^2 = 4 então b = 2 (semieixo menor)

Passo 8

Vamos calcular a excentricidade e da elipse usando a fórmula:
e = raiz1 - b^2a^2
Substituindo os valores:
e = raiz1 - 416 = raiz1 - 14 = raiz34 = raiz32

Passo 9

Com base nos cálculos:
  • O centro está em (1, -2) (a alternativa a está incorreta, pois menciona (1, 2)).
  • A excentricidade é raiz32 (a alternativa b está correta).
  • Os semieixos são 4 e 2, não 8 e 2 (alternativa c incorreta).
  • Os vértices não estão nos pontos mencionados (alternativa d incorreta).
  • Os focos não correspondem aos pontos dados (alternativa e incorreta).

Resposta

A alternativa correta é a (b) A excentricidade vale raiz32.

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