Determine a derivada das funçöes envolvendo funçōes trigonométricas. Simplifique o resultado final quando possível.
(0,5 pt.) g(x)=(pi+x-sec x) tan x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função trigonométrica g(x)=(pi+x-sec x)tan x. O conteúdo envolve a regra do produto e as derivadas dfracddxsec x=sec xtan x e dfracddxtan x=sec^2 x.

Passo 2

Definimos u(x)=pi+x-sec x e v(x)=tan x. Calculamos suas derivadas: u'(x)=1-sec xtan x e v'(x)=sec^2 x.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(1-sec xtan x)tan x+(pi+x-sec x)sec^2 x

Passo 4

Expandimos e simplificamos a primeira parte:
(1-sec xtan x)tan x=tan x-sec xtan^2 x
Como tan^2 x=sec^2 x-1, temos
-sec xtan^2 x=-sec x(sec^2 x-1)=-sec^3 x+sec x
Logo essa parte vira tan x+sec x-sec^3 x.

Passo 5

Agora somamos o segundo termo:
g'(x)=tan x+sec x-sec^3 x+pisec^2 x+xsec^2 x-sec xsec^2 x
Note que -sec^3 x-sec xsec^2 x=-2sec^3 x.

Passo 6

Reorganizando, obtemos a forma simplificada:
g'(x)= (pi + x)sec^2 x - 2sec^3 x + tan x + sec x

Resposta

g'(x)= (pi + x)sec^2 x - 2sec^3 x + tan x + sec x

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