Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
(a) x=t
y=2 t^2-1 -1 <= t <= 2
(b) x=2 cos t
y=2 sen t, 0 <= t <= 2 pi
© x=2+4 sen t
y=3+2 cos t, 0 <= t <= 2 pi
(d) x & =4 cos t y & =4 sen t
z=2, 0 <= t <= 2 pi
(e) x=t+1
y=t^2+4
z=2, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

A gente tem aqui curvas definidas por parâmetros e o objetivo é esboçar cada uma e achar a equação cartesiana — ou seja, eliminar o parâmetro t — usando conceitos de parábola, círculo, elipse e curvas no espaço.

Passo 2

Para (a) note que x e y já vêm em função de t: x = t e y = 2t^2 – 1. Basta isolar t em x e substituir em y. Como x = t, temos t = x, logo
y = 2x^2 - 1
Isso é uma parábola voltada para cima. Como t varia de –1 a 2, o ramo está restrito a x ∈ [–1,2].

Passo 3

Para (b) usamos identidades trigonométricas. Temos x = 2 cos t e y = 2 sen t. Elevando ao quadrado e somando,
x^2 + y^2 = (2,cos t)^2 + (2,sin t)^2 = 4(cos^2 t + sin^2 t) = 4
É um círculo de raio 2 centrado na origem, completo para t ∈ [0,2π].

Passo 4

Para © isolamos sen e cos: x – 2 = 4 sen t e y – 3 = 2 cos t. Elevando e somando de novo,
(x-2)^216 + (y-3)^24 = sin^2 t + cos^2 t = 1
É uma elipse de centro (2,3) com semi-eixos 4 (direção x) e 2 (direção y).

Passo 5

Para (d) vemos que x = 4 cos t, y = 4 sen t e z = 2 constante. Igual ao item (b) mas com raio 4 e elevando ao quadrado:
x^2 + y^2 = 16, z = 2
Ou seja, um círculo de raio 4 no plano z = 2.

Passo 6

Para (e) isolamos t em x: x = t + 1 ⇒ t = x – 1. Substituindo em y e notando que z = 2 é constante:
y = (x-1)^2 + 4, z = 2
É uma parábola deslocada no plano z = 2, com x variando de 1 (t = 0) até 1 + 2π (t = 2π).

Resposta

(a) y = 2x² – 1, com x ∈ [–1,2]
(b) x² + y² = 4
© (x–2)²/16 + (y–3)²/4 = 1
(d) x² + y² = 16, z = 2
(e) y = (x–1)² + 4, z = 2, com x ∈ [1,1 + 2π]

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