Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
A gente tem aqui curvas definidas por parâmetros e o objetivo é esboçar cada uma e achar a equação cartesiana — ou seja, eliminar o parâmetro t — usando conceitos de parábola, círculo, elipse e curvas no espaço.
Passo 2
Para (a) note que x e y já vêm em função de t: x = t e y = 2t^2 – 1. Basta isolar t em x e substituir em y. Como x = t, temos t = x, logo
Isso é uma parábola voltada para cima. Como t varia de –1 a 2, o ramo está restrito a x ∈ [–1,2].
Passo 3
Para (b) usamos identidades trigonométricas. Temos x = 2 cos t e y = 2 sen t. Elevando ao quadrado e somando,
É um círculo de raio 2 centrado na origem, completo para t ∈ [0,2π].
Passo 4
Para © isolamos sen e cos: x – 2 = 4 sen t e y – 3 = 2 cos t. Elevando e somando de novo,
É uma elipse de centro (2,3) com semi-eixos 4 (direção x) e 2 (direção y).
Passo 5
Para (d) vemos que x = 4 cos t, y = 4 sen t e z = 2 constante. Igual ao item (b) mas com raio 4 e elevando ao quadrado:
Ou seja, um círculo de raio 4 no plano z = 2.
Passo 6
Para (e) isolamos t em x: x = t + 1 ⇒ t = x – 1. Substituindo em y e notando que z = 2 é constante:
É uma parábola deslocada no plano z = 2, com x variando de 1 (t = 0) até 1 + 2π (t = 2π).
Resposta
(a) y = 2x² – 1, com x ∈ [–1,2]
(b) x² + y² = 4
© (x–2)²/16 + (y–3)²/4 = 1
(d) x² + y² = 16, z = 2
(e) y = (x–1)² + 4, z = 2, com x ∈ [1,1 + 2π]
(b) x² + y² = 4
© (x–2)²/16 + (y–3)²/4 = 1
(d) x² + y² = 16, z = 2
(e) y = (x–1)² + 4, z = 2, com x ∈ [1,1 + 2π]