Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
- Explicite o domínio da função.
- Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
- Determine o valor de
se existir.
- Localize, se possível, as raízes de
.
- Calcule os limites de
para
e
.
- Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
- Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
- Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
- Calcule os limites laterais de
nos pontos
tais que
não é contínua em
ou se
não estiver definida, mas
for um extremo do domínio de
.
- Determine as assíntotas.
Passo 1
Temos a função f(x)=x⁴−2x³+2x. Vamos esboçar o gráfico fazendo uma análise completa: domínio, simetria, raízes, limites, monotonicidade, extremos, concavidade e assíntotas.
Passo 2
O domínio de f é ℝ, pois polinômios são definidos para todo x real. Para testar simetria, calculamos f(−x):
Como isso não coincide com f(x) nem com −f(x), f não é par nem ímpar. Polinômio também não é periódico. Em x=0, f(0)=0. Para as raízes, escrevemos:
A equação x3−2x2+2=0 não tem raízes reais (teste de sinais/discriminante <0), então a única raiz real é x=0.
Passo 3
Para x→±∞, o termo dominante é x⁴>0, logo:
Passo 4
Calculamos a derivada primeira para ver monotonicidade e extremos:
As raízes de f’=0 são x=1 (multiplicidade 2) e x=-1/2. Fazendo um quadro de sinais ou testando pontos, vemos que f’ é negativa em (-∞,−1/2), positiva em (−1/2,∞) e não muda de sinal em x=1. Assim f decresce em (-∞,−1/2) e cresce em (−1/2,∞), com mínimo local em x=−1/2. O valor mínimo é
Passo 5
Para estudar concavidade, calculamos a segunda derivada:
As raízes são x=0 e x=1. Testando intervalos, f’’>0 em (-∞,0)∪(1,∞) (côncava para cima) e f’’<0 em (0,1) (côncava para baixo). Logo há pontos de inflexão em x=0 e x=1, com coordenadas (0,0) e (1,1).
Passo 6
Polinômio é contínuo em todo o domínio e não apresenta assíntotas (nem verticais, nem horizontais, nem oblíquas).
Passo 7
Com todas essas informações, o esboço qualitativo é: o gráfico parte de +∞ para x→-∞, decresce até o mínimo em (−1/2,−11/16), depois sobe passando por (0,0) ponto de inflexão, fica côncavo para baixo até (1,1) outro ponto de inflexão (com tangente horizontal) e então cresce indefinidamente, se tornando côncavo para cima e tendendo a +∞.
Resposta
Esboço: curva que de +∞ em x→-∞ decresce até (-½, -11/16), sobe passando por (0,0) (inflexão), continua côncava para baixo até (1,1) (inflexão com tangente horizontal) e depois sobe e côncava para cima em direção a +∞.