Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
  • Explicite o domínio da função.
  • Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
  • Determine o valor de f(0) se existir.
  • Localize, se possível, as raízes de f.
  • Calcule os limites de f para x +infty e x -infty.
  • Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
  • Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
  • Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
  • Calcule os limites laterais de f nos pontos p tais que f não é contínua em p ou se f(p) não estiver definida, mas p for um extremo do domínio de f.
  • Determine as assíntotas.
    (a) f(x)=x^4-2 x^3+2 x

Passo 1

Temos a função f(x)=x⁴−2x³+2x. Vamos esboçar o gráfico fazendo uma análise completa: domínio, simetria, raízes, limites, monotonicidade, extremos, concavidade e assíntotas.

Passo 2

O domínio de f é ℝ, pois polinômios são definidos para todo x real. Para testar simetria, calculamos f(−x):
f(−x)=(-x)^4-2(-x)^3+2(-x)=x^4+2x^3-2x
Como isso não coincide com f(x) nem com −f(x), f não é par nem ímpar. Polinômio também não é periódico. Em x=0, f(0)=0. Para as raízes, escrevemos:
f(x)=x(x^3-2x^2+2)=0
A equação x3−2x2+2=0 não tem raízes reais (teste de sinais/discriminante <0), então a única raiz real é x=0.

Passo 3

Para x→±∞, o termo dominante é x⁴>0, logo:
limxto+inftyf(x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=+infty

Passo 4

Calculamos a derivada primeira para ver monotonicidade e extremos:
f'(x)=4x^3-6x^2+2=2(2x^3-3x^2+1)=2(x-1)(2x^2-x-1)=2(x-1)^2(2x+1)
As raízes de f’=0 são x=1 (multiplicidade 2) e x=-1/2. Fazendo um quadro de sinais ou testando pontos, vemos que f’ é negativa em (-∞,−1/2), positiva em (−1/2,∞) e não muda de sinal em x=1. Assim f decresce em (-∞,−1/2) e cresce em (−1/2,∞), com mínimo local em x=−1/2. O valor mínimo é
f(-1/2)=(-1/2)^4-2(-1/2)^3+2(-1/2)=-11/16

Passo 5

Para estudar concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1)
As raízes são x=0 e x=1. Testando intervalos, f’’>0 em (-∞,0)∪(1,∞) (côncava para cima) e f’’<0 em (0,1) (côncava para baixo). Logo há pontos de inflexão em x=0 e x=1, com coordenadas (0,0) e (1,1).

Passo 6

Polinômio é contínuo em todo o domínio e não apresenta assíntotas (nem verticais, nem horizontais, nem oblíquas).

Passo 7

Com todas essas informações, o esboço qualitativo é: o gráfico parte de +∞ para x→-∞, decresce até o mínimo em (−1/2,−11/16), depois sobe passando por (0,0) ponto de inflexão, fica côncavo para baixo até (1,1) outro ponto de inflexão (com tangente horizontal) e então cresce indefinidamente, se tornando côncavo para cima e tendendo a +∞.

Resposta

Esboço: curva que de +∞ em x→-∞ decresce até (-½, -11/16), sobe passando por (0,0) (inflexão), continua côncava para baixo até (1,1) (inflexão com tangente horizontal) e depois sobe e côncava para cima em direção a +∞.

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