Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
x=t+1
y=t^2+4
z=2, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica em
R^3 definida por
x = t + 1, y = t^2 + 4, z = 2,
com 0 <= t <= 2pi. O conteúdo aqui é curvas paramétricas e eliminação de parâmetro para achar a equação cartesiana.

Passo 2

Da primeira equação, isolamos o parâmetro:
t = x - 1
Isso é possível porque é uma relação linear simples.

Passo 3

Substituímos t = x - 1 na expressão de y:
y = (x - 1)^2 + 4

Passo 4

Observamos que z é constante, então a curva vive no plano
z = 2

Passo 5

Juntando tudo, a equação cartesiana da curva é
y = (x - 1)^2 + 4,
com z = 2 e o domínio restrito a
1 <= x <= 1 + 2pi
O esboço é um arco de parábola no plano z=2, de vértice em (1,4,2) e se estendendo até (1+2pi,,(2pi)^2+4,,2).

Resposta

Equação cartesiana: y = (x - 1)^2 + 4, z = 2, 1 <= x <= 1 + 2pi

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