Resolva integral tg x d x fazendo:
u=sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tgx,dx usando a substituição u=senx. O conteúdo é o de primitiva de função trigonométrica e vamos precisar da relação entre seno e cosseno e da técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro reescrevemos tgx em função de seno e cosseno:
tgx=senxcos x
Como u=senx, temos du=cos x,dx, ou seja
dx=ducos x
Substituindo na integral,
integraltgx,dx=integralsenxcos x,dx=integralucos xcdotducos x= integralucos^2x,du

Passo 3

Observamos que cos^2x=1-sen^2x=1-u^2. Então a integral fica
integralucos^2x,du=integralu1-u^2,du

Passo 4

Para calcular integralu1-u^2,du usamos a substituição auxiliar v=1-u^2. Então
dv=-2u,duRightarrow u,du=-dv2
A integral vira
integralu1-u^2,du=integral-dv2v=-12integraldvv=-12ln|v|+C

Passo 5

Agora voltamos para as variáveis originais: v=1-u^2=1-sen^2x=cos^2x. Logo
-tfrac12ln|v|+C=-tfrac12ln|cos^2x|+C=-ln|cos x|+C

Resposta

-\ln|\cos x|+C

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