1. Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva \left\{\begin{array}{l}x=-3+2 \operatorname{sen}(t) \\\ y=3+2 \cos (t)\end{array}, t \in[0,2 \pi]\right..

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\displaystyle x=-3+2\operatorname{sen}(t),
\displaystyle y=3+2\cos(t)
para t\in[0,2\pi].
O conteúdo é eliminação de parâmetro em curvas e identificação de circunferência. Vamos achar a equação cartesiana usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2t+\cos^2t=1 e depois interpretar graficamente o resultado.

Passo 2

Iso­lando \operatorname{sen}(t) e \cos(t) em função de x e y, temos
\displaystyle \operatorname{sen}(t)=\frac{x+3}{2}
e
\displaystyle \cos(t)=\frac{y-3}{2}.

Passo 3

Aplicando \operatorname{sen}^2t+\cos^2t=1, substituímos e obtemos
\Bigl(\frac{x+3}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{y-3}{2}\Bigr)^{2} = 1.

Passo 4

Multiplicando por 4, fica
(x+3)^{2} + (y-3)^{2} = 4.
Isto é a equação de uma circunferência de centro (-3,\,3) e raio 2.

Passo 5

Para esboçar, marque o ponto (-3,3) como centro e trace um círculo de raio 2. Quando t=0, \sen0=0 e \cos0=1, logo P(-3,5) é o ponto inicial no “topo” da circunferência.
Derivando, \frac{dx}{dt}=2\cos t e \frac{dy}{dt}=-2\operatorname{sen} t; em t=0 isso dá direção para a direita. Portanto o ponto percorre o círculo no sentido horário, começando em (-3,5).

Resposta

A equação cartesiana é
(x+3)^{2} + (y-3)^{2} = 4.
O gráfico é a circunferência de centro (-3,3) e raio 2, percorrida no sentido horário quando t vai de 0 a 2\pi.

Exercícios relacionados