Esboçar o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Para desenhar esse gráfico, vamos determinar domínio, paridade, crescimento, concavidade e comportamento em
, além de possíveis assíntotas.
Passo 2
Domínio e paridade:
O domínio de é todo o conjunto dos reais, pois
está definida em
.
Verificamos a paridade:
O domínio de
Verificamos a paridade:
logo
é uma função par. Em particular, o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Derivada e concavidade:
Calculamos
Calculamos
e
Como
para todo
,
é estritamente convexa. Além disso,
, e por convexidade esse é o único mínimo local (e global), em
. Para
,
e a função cresce; para
, cresce no sentido negativo (por ser par, decresce em
).
Passo 4
Comportamento em
e assíntotas oblíquas:
Quando ,
, então
Quando
Logo existe uma assíntota oblíqua à direita:
Analogamente, para
,
e
com assíntota oblíqua
Passo 5
Esboço qualitativo:
– A função é par e passa por .
– É convexa e tem único mínimo em .
– Cresce para e decresce para
.
– Possui assíntotas oblíquas à direita e
à esquerda.
– A função é par e passa por
– É convexa e tem único mínimo em
– Cresce para
– Possui assíntotas oblíquas
Resposta
O gráfico de
é uma curva convexa e par, com mínimo global em
, cresce para
e decresce para
, e aproxima-se obliquamente das retas