Esboçar o gráfico da seguinte função, procurando ser fiel às interseções com os eixos, extremos relativos, concavidade e assíntotas:
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x},
identificando domínio, interceptos com os eixos, extremos relativos, concavidade e assíntotas. Para isso vamos:
– determinar o domínio e interceptos;
– calcular f' e achar monotonia e extremos;
– calcular f'' e achar concavidade e pontos de inflexão;
– analisar assíntotas.

Passo 2

Domínio e interceptos. A função está definida sempre que x\neq0, logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Para achar o intercepto no eixo x resolvemos
x^{2}+\frac{1}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Então há um único ponto de intercepto em (-1,0). Como x=0 não pertence ao domínio, não há intercepto em y.

Passo 3

Monotonia e extremos relativos. Calculamos
f'(x)=2x-\frac{1}{x^{2}}.
Para f'(x)=0 vem
2x=\frac{1}{x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 2x^{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=2^{-\tfrac{1}{3}}.
Como f'(x)<0 para todo x\in(-\infty,0) e também para 0<x<2^{-\tfrac{1}{3}}, e f'(x)>0 para x>2^{-\tfrac{1}{3}}, concluímos que em x=2^{-\tfrac{1}{3}} ocorre um mínimo relativo. O valor mínimo é
f\bigl(2^{-\tfrac{1}{3}}\bigr) =2^{-\tfrac{2}{3}}+2^{\tfrac{1}{3}}\approx1{,}89.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão. Derivando novamente,
f''(x) =2+\frac{2}{x^{3}}.
Para f''(x)=0 temos
2+\frac{2}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Testando o sinal de f''(x) em cada intervalo:
  • em (-\infty,-1), f''(x)>0 (côncava para cima);
  • em (-1,0), f''(x)<0 (côncava para baixo);
  • em (0,\infty), f''(x)>0 (côncava para cima).
    Logo há ponto de inflexão em (-1,0), que coincide com o intercepto no eixo x.

Passo 5

Assíntotas.
– Vertical em x=0, pois
\lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty.
– Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois para \lvert x\rvert\to\infty vale f(x)\sim x^{2}\to +\infty.

Passo 6

Juntando tudo, o esboço do gráfico é:
  • Sobre (-\infty,0): f decresce, é côncava para cima até x=-1, muda para côncava para baixo e vai a -\infty quando x\to0^-. Passa em (-1,0) com ponto de inflexão.
  • Sobre (0,\infty): f decresce de +\infty (em 0^+) até o mínimo em \bigl(2^{-\tfrac{1}{3}},\,2^{-\tfrac{2}{3}}+2^{\tfrac{1}{3}}\bigr), depois cresce indefinidamente e permanece côncava para cima.
  • Há assíntota vertical em x=0 e não há outras assíntotas.

Resposta

O gráfico possui: \bullet domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}; \bullet intercepto em (-1,0) que é ponto de inflexão; \bullet mínimo relativo em \bigl(2^{-\tfrac{1}{3}},\,2^{-\tfrac{2}{3}}+2^{\tfrac{1}{3}}\bigr); \bullet concavidade para cima em (-\infty,-1) e em (0,\infty), côncava para baixo em (-1,0); \bullet assíntota vertical x=0;
e cresce como x^{2} para \lvert x\rvert\to\infty.

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