Esboçar o gráfico da seguinte função, procurando ser fiel às interseções com os eixos, extremos relativos, concavidade e assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
identificando domínio, interceptos com os eixos, extremos relativos, concavidade e assíntotas. Para isso vamos:
– determinar o domínio e interceptos;
– calcular e achar monotonia e extremos;
– calcular e achar concavidade e pontos de inflexão;
– analisar assíntotas.
– determinar o domínio e interceptos;
– calcular
– calcular
– analisar assíntotas.
Passo 2
Domínio e interceptos. A função está definida sempre que
, logo
Para achar o intercepto no eixo
resolvemos
Então há um único ponto de intercepto em
. Como
não pertence ao domínio, não há intercepto em
.
Passo 3
Monotonia e extremos relativos. Calculamos
Para
vem
Como
para todo
e também para
, e
para
, concluímos que em
ocorre um mínimo relativo. O valor mínimo é
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão. Derivando novamente,
Para
temos
Testando o sinal de
em cada intervalo:
- em
, (côncava para cima); - em
, (côncava para baixo); - em
, (côncava para cima).
Logo há ponto de inflexão em, que coincide com o intercepto no eixo .
Passo 5
Assíntotas.
– Vertical em , pois
– Vertical em
– Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois para
vale
.
Passo 6
Juntando tudo, o esboço do gráfico é:
- Sobre
: decresce, é côncava para cima até , muda para côncava para baixo e vai a quando . Passa em com ponto de inflexão. - Sobre
: decresce de (em ) até o mínimo em , depois cresce indefinidamente e permanece côncava para cima. - Há assíntota vertical em
e não há outras assíntotas.
Resposta
O gráfico possui:
domínio
;
intercepto em
que é ponto de inflexão;
mínimo relativo em
;
concavidade para cima em
e em
, côncava para baixo em
;
assíntota vertical
;
e cresce como para
.
e cresce como