Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g, nos casos em que:
f(x)=2 x^{2}, g(x)=2 x+1

Passo 1

O enunciado nos dá as funções f(x)=2x^2 e g(x)=2x+1
e pede as composições \,f\circ g,\;g\circ f,\;f\circ f e g\circ g.
O conteúdo aqui é composição de funções, ou seja, substituir a saída de uma função como entrada da outra e simplificar.

Passo 2

Para calcular (f\circ g)(x) substituímos g(x)=2x+1 no lugar de x em f(x)=2x^2. Logo,
(f\circ g)(x)=2\bigl(2x+1\bigr)^2=2\bigl(4x^2+4x+1\bigr)=8x^2+8x+2

Passo 3

Para calcular (g\circ f)(x) colocamos f(x)=2x^2 como entrada de g(x)=2x+1. Assim,
(g\circ f)(x)=2\bigl(2x^2\bigr)+1=4x^2+1

Passo 4

Em (f\circ f)(x) usamos f(x)=2x^2 duas vezes, substituindo f(x) dentro de si mesma:
(f\circ f)(x)=2\bigl(f(x)\bigr)^2=2\bigl(2x^2\bigr)^2=2\cdot4x^4=8x^4

Passo 5

Por fim, (g\circ g)(x) é obter g(x)=2x+1 e colocar essa expressão de volta em g:
(g\circ g)(x)=2\bigl(2x+1\bigr)+1=4x+2+1=4x+3

Resposta

(f\circ g)(x)=8x^2+8x+2 (g\circ f)(x)=4x^2+1 (f\circ f)(x)=8x^4 (g\circ g)(x)=4x+3

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