Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g, nos casos em que:
f(x)=\frac{x}{1+x}, g(x)=\operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as quatro composições dadas as funções
f(x)=\frac{x}{1+x}, \quad g(x)=\operatorname{sen}(2x).
O conteúdo aqui é definição de composição de funções:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr), \quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr),
e assim por diante.

Passo 2

Para achar f\circ g, aplicamos f ao valor g(x). Logo,
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \frac{g(x)}{1 + g(x)} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{1 + \operatorname{sen}(2x)}.

Passo 3

Para achar g\circ f, aplicamos g ao valor f(x). Assim,
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = \operatorname{sen}\!\bigl(2\,f(x)\bigr) = \operatorname{sen}\!\Bigl(2\,\frac{x}{1+x}\Bigr).

Passo 4

Para achar f\circ f, substituímos x por f(x) em f:
(f\circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = \frac{f(x)}{1 + f(x)} = \frac{\tfrac{x}{1+x}}{1 + \tfrac{x}{1+x}} = \frac{\tfrac{x}{1+x}}{\tfrac{1+x + x}{1+x}} = \frac{x}{1 + 2x}.

Passo 5

Para achar g\circ g, aplicamos g ao valor g(x):
(g\circ g)(x) = g\bigl(g(x)\bigr) = \operatorname{sen}\!\bigl(2\,g(x)\bigr) = \operatorname{sen}\!\bigl(2\,\operatorname{sen}(2x)\bigr).

Resposta

f\circ g(x)=\displaystyle \frac{\operatorname{sen}(2x)}{1+\operatorname{sen}(2x)} g\circ f(x)=\displaystyle \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{2x}{1+x}\Bigr) f\circ f(x)=\displaystyle \frac{x}{1+2x} g\circ g(x)=\displaystyle \operatorname{sen}\!\bigl(2\,\operatorname{sen}(2x)\bigr)

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