Esboçar o gráfico das seguintes funções :
Passo 1
Temos a função
e queremos esboçar seu gráfico no espaço
. O conteúdo envolve reconhecimento de um paraboloide elíptico e uso de curvas de nível.
Passo 2
Reescrevemos o gráfico como
. Como os coeficientes de
e
são negativos, trata-se de um paraboloide elíptico que abre para baixo.
Passo 3
Para encontrar o vértice, calculamos o gradiente
. Igualando a zero, obtemos
e
. Nesse ponto
, logo o vértice é
.
Passo 4
Analisamos as curvas de nível fixando
. Temos
, que equivale a
. Essas curvas existem apenas se
e são elipses que crescem à medida que
diminui.
Passo 5
Para cada
, o semi-eixo em
vale
e em
vale
, mostrando maior alongamento em
.
Passo 6
Com vértice em
e curvas de nível elípticas, esboçamos a superfície como uma cúpula voltada para baixo, fechando conforme
e
aumentam em módulo.
Resposta
Paraboloide elíptico voltado para baixo com vértice em
.