Esboçar o gráfico das seguintes funções :
f(x, y)=-4 y^2-x^2

Passo 1

Temos a função f(x,y)=-4y^2 - x^2 e queremos esboçar seu gráfico no espaço (x,y,z). O conteúdo envolve reconhecimento de um paraboloide elíptico e uso de curvas de nível.

Passo 2

Reescrevemos o gráfico como z = -x^2 - 4y^2. Como os coeficientes de x^2 e y^2 são negativos, trata-se de um paraboloide elíptico que abre para baixo.

Passo 3

Para encontrar o vértice, calculamos o gradiente nabla f = (partial f/partial x,partial f/partial y) = (-2x,-8y). Igualando a zero, obtemos x=0 e y=0. Nesse ponto z=f(0,0)=0, logo o vértice é (0,0,0).

Passo 4

Analisamos as curvas de nível fixando z=c. Temos -x^2-4y^2=c, que equivale a x^2+4y^2=-c. Essas curvas existem apenas se c<=0 e são elipses que crescem à medida que c diminui.

Passo 5

Para cada c<0, o semi-eixo em x vale raiz-c e em y vale raiz-c/4=tfracraiz-c2, mostrando maior alongamento em x.

Passo 6

Com vértice em (0,0,0) e curvas de nível elípticas, esboçamos a superfície como uma cúpula voltada para baixo, fechando conforme x e y aumentam em módulo.

Resposta

Paraboloide elíptico voltado para baixo com vértice em (0,0,0).

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