Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
a) f(x, y)=x yx^2+y^2 b) f(x, y)=x y^2x^2+y^4 c) f(x, y)=x^2 y^3x^2-y^3
d) f(x, y)=x^2x^2+y^2 e) f(x, y)=x-yx+y f) f(x, y)=x^4+3 x^2 y^2+2 x y^3(x^2+y^2)^2
g) f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2 h) f(x, y)=x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2 i) f(x, y)=x^4 y^4(x^2+y^4)^3
j) f(x, y)=x^2 y^2x^3-y^2 k) f(x, y)=(x+y)^2x^2+y^2 l) f(x, y)=(x+y)^2(x-y)^2
m) f(x, y)=x^2 y^2x^2-y^3 n) f(x, y)=x^3 y^4x^3 y^4+(y-x^4)^3 o) f(x, y)=x^12 y^12(x^3+y^12)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de uma certa função não existe quando f(x, y) = xyx^2 + y^2 se aproxima de . A função que vamos analisar é:
Vamos usar conceitos de cálculo multivariable para resolver isso, especialmente pensando em como o limite pode variar dependendo do caminho que tomamos para chegar a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite exista, o valor da função deve se aproximar do mesmo número independente do caminho que escolhemos para chegar a .

Passo 3

Para provar que o limite não existe, vamos calcular o limite de ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes.

Passo 4

Primeiro Caminho: f(x, 0) = x cdot 0x^2 + 0^2 = 0
Se escolhermos , a função fica:
Então, ao nos aproximarmos de por esse caminho, o limite é 0.

Passo 5

Segundo Caminho: f(x, x) = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12
Agora, vamos escolher . Substituindo na função:
Aqui, o limite é .

Passo 6

Terceiro Caminho: f(x, -x) = x cdot (-x)x^2 + (-x)^2 = -x^22x^2 = -12
Vamos também testar com :
Neste caso, o limite é .

Passo 7

Observamos que ao escolher diferentes caminhos para nos aproximar de , obtivemos limites diferentes: 0, e . Como os limites não são iguais, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, o limite de quando se aproxima de não existe porque diferentes caminhos levam a diferentes valores de limite.

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