Esboçar o gráfico das seguintes funções, indicando no mesmo sistema de coordenadas o domínio e a imagem.
f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} com domínio D: x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}
com domínio
D:\;x^{2}+y^{2}\le4.
Estamos trabalhando com representação de superfícies em \mathbb{R}^3, mais especificamente com uma quadric surface.

Passo 2

No plano xy, a condição
x^{2}+y^{2}\le4
define um disco de raio 2 centrado na origem. Portanto, todo ponto (x,y) dentro desse círculo faz parte do domínio D.

Passo 3

Para cada (x,y) em D, temos
z = f(x,y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}\ge0.
Repare que a esfera de raio 2 centrada na origem satisfaz
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Ao expressar z em função de x,y e tomar somente a raiz não–negativa, obtemos a parte superior dessa esfera, ou seja, uma semi‐esfera acima do plano z=0.

Passo 4

Os valores extremos de z ocorrem em:
(0,0), onde z=\sqrt{4}=2 (ponto mais alto).
— Na borda x^{2}+y^{2}=4, onde z=0 (base da semi‐esfera).
Logo a imagem de f é
[0,2].

Passo 5

No esboço final, desenhe:
  1. Os eixos x, y e z.
  2. No plano xy, o disco de raio 2.
  3. Sobre esse disco, a superfície definida por z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}},que forma uma semi‐esfera de raio 2 sobre o plano z=0.
  4. Indique na aresta vertical que z varia de 0 até 2.

Resposta

O gráfico de f é a semi‐esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\quad z\ge0,
o domínio é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\} e a imagem é o intervalo [0,2].

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