Esboçar o gráfico das seguintes funções, indicando no mesmo sistema de coordenadas o domínio e a imagem.
com domínio
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
com domínio
Estamos trabalhando com representação de superfícies em
, mais especificamente com uma quadric surface.
Passo 2
No plano
, a condição
define um disco de raio
centrado na origem. Portanto, todo ponto
dentro desse círculo faz parte do domínio
.
Passo 3
Para cada
em
, temos
Repare que a esfera de raio
centrada na origem satisfaz
Ao expressar
em função de
e tomar somente a raiz não–negativa, obtemos a parte superior dessa esfera, ou seja, uma semi‐esfera acima do plano
.
Passo 4
Os valores extremos de
ocorrem em:
— , onde
(ponto mais alto).
— Na borda , onde
(base da semi‐esfera).
Logo a imagem de é
—
— Na borda
Logo a imagem de
Passo 5
No esboço final, desenhe:
- Os eixos
, e . - No plano
, o disco de raio . - Sobre esse disco, a superfície definida por
que forma uma semi‐esfera de raio sobre o plano . - Indique na aresta vertical que
varia de até .
Resposta
O gráfico de
é a semi‐esfera
o domínio é o disco
e a imagem é o intervalo
.