Encontre a imagem das seguintes funções:
f(x, y)=\operatorname{sen}(x y).

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida em \mathbb{R}^2 por
f(x,y)=\operatorname{sen}(x y)
e pede a imagem de f, ou seja, o conjunto de valores que f assume. Para resolver, vamos usar que o produto em \mathbb{R} varre todo \mathbb{R} e que \operatorname{sen}:\mathbb{R}\to[-1,1].

Passo 2

Defina a variável auxiliar
u = x\,y.
Para qualquer u\in\mathbb{R} basta escolher, por exemplo, x=u e y=1 para ter x\,y = u. Logo
\{\,x y \mid (x,y)\in\mathbb{R}^2\} = \mathbb{R}.

Passo 3

Sabemos que a função
\operatorname{sen}:\mathbb{R}\to[-1,1]
é sobrejetora em [-1,1], ou seja, para cada t\in[-1,1] existe u\in\mathbb{R} tal que \operatorname{sen}(u)=t. Combinando isso com o fato de u=xy varrer todo \mathbb{R}, concluímos que
f(x,y)=\operatorname{sen}(x y)
assume exatamente todos os valores de [-1,1].

Resposta

[-1,1]

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