Encontre a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede a imagem da função
Estamos no conteúdo de análise real (funções de várias variáveis) e vamos usar desigualdades e parametrizações para determinar todos os valores possíveis de
.
Passo 2
Observe que, para todo
no domínio, o denominador
é positivo. Como
, segue imediatamente que
Passo 3
Por outro lado, como
, temos
logo
Passo 4
Mostramos então que
. Agora precisamos verificar se todos os valores entre
e
realmente ocorrem.
- Para obter
, escolha e . Então
- Para obter
, escolha e . Então
- Para um valor intermediário
com , parametrizamos por reta: seja com . Então
À medida que
varia em
,
percorre todos os valores em
. Como já conseguimos o
em outro caso, todos os
também são atingidos.
Passo 5
Concluímos que
assume exatamente todos os valores
que satisfazem
Resposta
A imagem de
é
.