Encontre a imagem das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a imagem da função
f\colon \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2>0\}\to\mathbb{R}, \quad f(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}.
Estamos no conteúdo de análise real (funções de várias variáveis) e vamos usar desigualdades e parametrizações para determinar todos os valores possíveis de f(x,y).

Passo 2

Observe que, para todo (x,y) no domínio, o denominador x^2+y^2 é positivo. Como x^2\ge0, segue imediatamente que
f(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}\ge0.

Passo 3

Por outro lado, como x^2\le x^2+y^2, temos
\frac{x^2}{x^2+y^2}\le1,
logo
f(x,y)\le1.

Passo 4

Mostramos então que 0\le f(x,y)\le1. Agora precisamos verificar se todos os valores entre 0 e 1 realmente ocorrem.
  1. Para obter f(x,y)=0, escolha x=0 e y\neq0. Então
f(0,y)=\frac{0^2}{0^2+y^2}=0.
  1. Para obter f(x,y)=1, escolha y=0 e x\neq0. Então
f(x,0)=\frac{x^2}{x^2+0^2}=1.
  1. Para um valor intermediário t com 0<t<1, parametrizamos por reta: seja y=kx com k\in\mathbb{R}. Então
f(x,kx) =\frac{x^2}{x^2+(kx)^2} =\frac{1}{1+k^2}.
À medida que k varia em \mathbb{R}, 1/(1+k^2) percorre todos os valores em (0,1]. Como já conseguimos o 0 em outro caso, todos os t\in(0,1) também são atingidos.

Passo 5

Concluímos que f assume exatamente todos os valores y que satisfazem
0\le y\le1.

Resposta

A imagem de f é \,[0,1]\,.

Exercícios relacionados