Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
integral0^1 integralraizx^2 integral0^y y d z d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral tripla integralx=0^1integraly=raizx^2integralz=0^yy,dz,dy,dx. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais iteradas e reconhecimento da região de integração no espaço (x,y,z).

Passo 2

Esboço da região: no plano (x,y) temos 0<= x<=1 e raizx<= y<=2. Essa é a região acima da parábola y=raizx e abaixo da reta y=2 para xin[0,1]. Para cada ponto (x,y) dessa região, z varia de 0 até y, formando um sólido.

Passo 3

Cálculo da integral em z: como o integrando não depende de z,
integral0^yy,dz = yl[zr]0^y=ycdot y=y^2

Passo 4

Cálculo da integral em y:
integraly=raizx^2y^2,dy=[y^33]y=raizx^2=83-(raizx)^33=83-x^3/23

Passo 5

Cálculo da integral em x:
integral0^1l(83-x^3/23r)dx=83integral0^1dx-13integral0^1x^3/2dx=83-13cdot25=83-215=3815

Resposta

dfrac3815

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