Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz da função
a partir de um valor inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma raiz da função f(x)=x²−2 usando o método de Newton–Raphson, a partir do palpite inicial x₀=1.5. O conteúdo envolve o método iterativo de Newton, para o qual precisamos da derivada de f.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de f(x). Temos f(x)=x²−2, então sua derivada é f’(x)=2x. A fórmula geral do método de Newton–Raphson é
Substituindo f e f’, obtemos
Passo 3
Agora fazemos a primeira iteração. Tomando x₀=1.5, calculamos
Esse valor já está bem próximo de √2.
Passo 4
Na segunda iteração, usamos x₁ para obter x₂:
Aproxima ainda mais a √2.
Passo 5
Na terceira iteração, usamos x₂ para calcular x₃:
A diferença |x₃−x₂|≈0.0000021 é muito pequena, indicando que já chegamos a uma boa precisão para a raiz.
Passo 6
Como a sequência convergiu rapidamente e a diferença entre as iterações está abaixo de 10⁻⁶, podemos parar aqui. O valor encontrado é uma excelente aproximação de √2.
Resposta
A raiz aproximada, obtida pelo método de Newton–Raphson a partir de x₀=1.5, é x≈1.4142136.