Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz da função f(x)=x^2-2 a partir de um valor inicial x0=1.5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz da função f(x)=x²−2 usando o método de Newton–Raphson, a partir do palpite inicial x₀=1.5. O conteúdo envolve o método iterativo de Newton, para o qual precisamos da derivada de f.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f(x). Temos f(x)=x²−2, então sua derivada é f’(x)=2x. A fórmula geral do método de Newton–Raphson é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Substituindo f e f’, obtemos
xn+1=xn-xn^2-22xn=xn+2xn2

Passo 3

Agora fazemos a primeira iteração. Tomando x₀=1.5, calculamos
x1=1.5+21.52=1.5+1.33333332=1.4166667
Esse valor já está bem próximo de √2.

Passo 4

Na segunda iteração, usamos x₁ para obter x₂:
x2=1.4166667+21.41666672approx1.4142157
Aproxima ainda mais a √2.

Passo 5

Na terceira iteração, usamos x₂ para calcular x₃:
x3=1.4142157+21.41421572approx1.4142136
A diferença |x₃−x₂|≈0.0000021 é muito pequena, indicando que já chegamos a uma boa precisão para a raiz.

Passo 6

Como a sequência convergiu rapidamente e a diferença entre as iterações está abaixo de 10⁻⁶, podemos parar aqui. O valor encontrado é uma excelente aproximação de √2.

Resposta

A raiz aproximada, obtida pelo método de Newton–Raphson a partir de x₀=1.5, é x≈1.4142136.

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