Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
\int_{1}^{2} \int_{0}^{x} y \ln x d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
\int_{1}^{2} \int_{0}^{x} y \ln x \, d y \, d x.
Informações dadas e condições do enunciado:
  • O domínio de integração é determinado por 1\le x\le 2 e 0\le y\le x.
  • A função integranda é y\ln x.
  • Precisamos tanto do esboço da região D no plano xy quanto do valor numérico da integral.

Passo 2

Esboço e descrição da região D:
A região é formada pelas restrições 1\le x\le 2 (duas retas verticais) e 0\le y\le x (o eixo y=0 e a reta y=x). Portanto D é o conjunto
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\;0\le y\le x\}.
Pontos especiais (vértices) que ajudam a desenhar: (1,0), (1,1), (2,0) e (2,2). Ligando esses pontos obtemos um trapézio no plano: base inferior sobre o eixo y=0 de x=1 a x=2, lado esquerdo a reta vertical x=1 de y=0 a y=1, lado superior sobre a reta y=x de x=1 a x=2, e lado direito a reta vertical x=2 de y=0 a y=2. Para esboçar: desenhe as retas x=1, x=2, y=0 e y=x e marque a região entre elas.

Passo 3

Primeira integração (integrar em y primeiro):
Na integral interior \int_{0}^{x} y\ln x \, d y a variável x é tratada como constante, então \ln x sai da integral:
\int_{0}^{x} y\ln x \, d y = \ln x \int_{0}^{x} y \, d y.
Agora calculamos \int_{0}^{x} y \, d y. Essa é uma integral simples de potência:
\int_{0}^{x} y \, d y = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x} = \tfrac{x^{2}}{2}.
Logo a integral interior é
\int_{0}^{x} y\ln x \, d y = \ln x \cdot \tfrac{x^{2}}{2} = \tfrac{x^{2}}{2}\ln x.

Passo 4

Passamos à integral externa usando o resultado do passo anterior. Temos que calcular
\int_{1}^{2} \tfrac{x^{2}}{2}\ln x \, d x = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{2} x^{2}\ln x \, d x.
Para \int x^{2}\ln x \, d x utilizamos integração por partes. Vou lembrar e explicar a fórmula de integração por partes: se escolhemos funções u(x) e v'(x) então
\int u\, v' = u v - \int u' v.
Aqui escolhemos u=\ln x (porque sua derivada simplifica) e v'=x^{2} (porque é fácil integrar). Assim:
  • u=\ln x \Rightarrow u'=\dfrac{1}{x}.
  • v'=x^{2} \Rightarrow v=\dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de partes:
\int x^{2}\ln x \, d x = \left(\ln x\right)\left(\tfrac{x^{3}}{3}\right) - \int \left(\tfrac{x^{3}}{3}\right)\left(\tfrac{1}{x}\right) d x.
Simplificando o integrando na segunda parcela:
\int \left(\tfrac{x^{3}}{3}\right)\left(\tfrac{1}{x}\right) d x = \tfrac{1}{3}\int x^{2} d x = \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{x^{3}}{3} = \tfrac{x^{3}}{9}.
Portanto
\int x^{2}\ln x \, d x = \tfrac{x^{3}}{3}\ln x - \tfrac{x^{3}}{9}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} (lembre que tínhamos \tfrac{1}{2}\int x^{2}\ln x):
\text{primitiva} = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{x^{3}}{3}\ln x - \tfrac{x^{3}}{9}\right) = \tfrac{x^{3}}{6}\ln x - \tfrac{x^{3}}{18}.

Passo 6

Avaliação da primitiva de x=1 a x=2. Primeiro em x=2:
\tfrac{2^{3}}{6}\ln 2 - \tfrac{2^{3}}{18} = \tfrac{8}{6}\ln 2 - \tfrac{8}{18} = \tfrac{4}{3}\ln 2 - \tfrac{4}{9}.
Em x=1, note que \ln 1=0, então
\tfrac{1^{3}}{6}\ln 1 - \tfrac{1^{3}}{18} = 0 - \tfrac{1}{18} = -\tfrac{1}{18}.
Subtraindo (valor em 2 menos valor em 1):
\left(\tfrac{4}{3}\ln 2 - \tfrac{4}{9}\right) - \left(-\tfrac{1}{18}\right) = \tfrac{4}{3}\ln 2 - \tfrac{4}{9} + \tfrac{1}{18}.
Somando as frações numéricas:
-\tfrac{4}{9} + \tfrac{1}{18} = -\tfrac{8}{18} + \tfrac{1}{18} = -\tfrac{7}{18}.
Portanto o valor final da integral é
\tfrac{4}{3}\ln 2 - \tfrac{7}{18}.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\;0\le y\le x\}
\displaystyle \int_{1}^{2}\int_{0}^{x} y\ln x\,dy\,dx=\tfrac{4}{3}\ln 2-\tfrac{7}{18}

Exercícios relacionados