Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
Informações dadas e condições do enunciado:
- O domínio de integração é determinado por
e . - A função integranda é
. - Precisamos tanto do esboço da região
no plano quanto do valor numérico da integral.
Passo 2
Esboço e descrição da região
:
A região é formada pelas restrições
(duas retas verticais) e
(o eixo
e a reta
). Portanto
é o conjunto
Pontos especiais (vértices) que ajudam a desenhar:
,
,
e
. Ligando esses pontos obtemos um trapézio no plano: base inferior sobre o eixo
de
a
, lado esquerdo a reta vertical
de
a
, lado superior sobre a reta
de
a
, e lado direito a reta vertical
de
a
. Para esboçar: desenhe as retas
,
,
e
e marque a região entre elas.
Passo 3
Primeira integração (integrar em
primeiro):
Na integral interior
a variável
é tratada como constante, então
sai da integral:
Agora calculamos
. Essa é uma integral simples de potência:
Logo a integral interior é
Passo 4
Passamos à integral externa usando o resultado do passo anterior. Temos que calcular
Para
utilizamos integração por partes. Vou lembrar e explicar a fórmula de integração por partes: se escolhemos funções
e
então
Aqui escolhemos
(porque sua derivada simplifica) e
(porque é fácil integrar). Assim:
-
. -
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de partes:
Simplificando o integrando na segunda parcela:
Portanto
Multiplicando por
(lembre que tínhamos
):
Passo 6
Avaliação da primitiva de
a
. Primeiro em
:
Em
, note que
, então
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Somando as frações numéricas:
Portanto o valor final da integral é