A função integranda é \operatorname{sec}^{3} x (note que não depende de y).
Precisamos tanto do esboço da região no plano xy quanto do valor numérico (analítico) da integral.
Passo 2
Esboço da região de integração (explicado para você desenhar rapidinho na prova):
A condição \,0\le x\le1 e \,0\le y\le1 descreve um quadrado no plano xy.
Os vértices desse quadrado são (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).
Para esboçar: desenhe os eixos x e y, marque x=0 e x=1 verticalmente, y=0 e y=1 horizontalmente; a região de integração é o quadrado fechado entre essas retas. Pronto — região esboçada.
Passo 3
Simplificação usando que a integranda não depende de y:
Quando uma função f(x,y) não depende de uma das variáveis (aqui não depende de y), a integral interna em y é simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo em y.
Então para o interno temos
\int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dy = \operatorname{sec}^{3} x \cdot \big(1-0\big) = \operatorname{sec}^{3} x.
\int \operatorname{sec} x\, dx = \ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big| + C.
Observação prática: no intervalo [0,1] (em radianos) temos \cos x>0, então \operatorname{sec} x+\tan x>0 e podemos retirar as barras de valor absoluto se quiser.
Passo 9
Antiderivada explícita e avaliação de \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dx:
Substituindo \int \operatorname{sec} x\, dx em (Passo 7) obtemos uma primitiva
F(x)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sec} x\tan x + \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|\big).