Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \operatorname{sec} ^{3} x d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar a região de integração e (ii) calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dy\, dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Os limites são \,0\le x\le1 e \,0\le y\le1.
  • A função integranda é \operatorname{sec}^{3} x (note que não depende de y).
  • Precisamos tanto do esboço da região no plano xy quanto do valor numérico (analítico) da integral.

Passo 2

Esboço da região de integração (explicado para você desenhar rapidinho na prova):
  • A condição \,0\le x\le1 e \,0\le y\le1 descreve um quadrado no plano xy.
  • Os vértices desse quadrado são (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).
  • Para esboçar: desenhe os eixos x e y, marque x=0 e x=1 verticalmente, y=0 e y=1 horizontalmente; a região de integração é o quadrado fechado entre essas retas. Pronto — região esboçada.

Passo 3

Simplificação usando que a integranda não depende de y:
  • Quando uma função f(x,y) não depende de uma das variáveis (aqui não depende de y), a integral interna em y é simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo em y.
  • Então para o interno temos
\int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dy = \operatorname{sec}^{3} x \cdot \big(1-0\big) = \operatorname{sec}^{3} x.
  • Logo a integral dupla reduz-se à integral em x:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dy\, dx = \int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dx.

Passo 4

Estratégia para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3} x\, dx:
  • A técnica clássica é usar integração por partes. Lembra da fórmula: para funções u(x) e v(x),
\int u\, dv = u v - \int v\, du.
  • Aqui é conveniente escrever \operatorname{sec}^{3} x = \operatorname{sec} x\cdot \operatorname{sec}^{2} x e escolher
u=\operatorname{sec} x,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2} x\, dx.
  • Assim precisamos das derivadas/antiderivadas:
du = \operatorname{sec} x\tan x\, dx,\qquad v=\tan x.

Passo 5

Aplicando integração por partes passo a passo:
  • Substituindo em \int u\, dv:
\int \operatorname{sec}^{3} x\, dx = \operatorname{sec} x\cdot \tan x - \int \tan x\cdot (\operatorname{sec} x\tan x)\, dx.
  • Isso dá
\int \operatorname{sec}^{3} x\, dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\tan^{2} x\, dx.

Passo 6

Usando identidade trigonométrica para simplificar:
  • Lembre que \tan^{2} x = \operatorname{sec}^{2} x - 1. Substituindo:
\int \operatorname{sec}^{3} x\, dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\big(\operatorname{sec}^{2} x - 1\big)\, dx.
  • Desenvolvendo o integrando:
\int \operatorname{sec}^{3} x\, dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3} x\, dx + \int \operatorname{sec} x\, dx.

Passo 7

Isolando a integral \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3} x\, dx:
  • Somamos \int \operatorname{sec}^{3} x\, dx dos dois lados e obtemos
2\int \operatorname{sec}^{3} x\, dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\, dx.
  • Portanto
\int \operatorname{sec}^{3} x\, dx = \tfrac{1}{2}\Big(\operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\, dx\Big)+C.

Passo 8

Cálculo de \displaystyle \int \operatorname{sec} x\, dx (aquela integral padrão):
  • Uma maneira rápida é reconhecer que a derivada de \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| é \operatorname{sec} x. Mostro:
\frac{d}{dx}\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big| = \frac{\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^{2} x}{\operatorname{sec} x+\tan x} = \frac{\operatorname{sec} x(\tan x+\operatorname{sec} x)}{\operatorname{sec} x+\tan x} =\operatorname{sec} x.
  • Logo
\int \operatorname{sec} x\, dx = \ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big| + C.
  • Observação prática: no intervalo [0,1] (em radianos) temos \cos x>0, então \operatorname{sec} x+\tan x>0 e podemos retirar as barras de valor absoluto se quiser.

Passo 9

Antiderivada explícita e avaliação de \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dx:
  • Substituindo \int \operatorname{sec} x\, dx em (Passo 7) obtemos uma primitiva
F(x)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sec} x\tan x + \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|\big).
  • Então a integral definida é
\int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dx = F(1)-F(0).
  • Calcule os termos:
    • Em x=1: \operatorname{sec} 1 = \dfrac{1}{\cos 1}, \tan 1 = \dfrac{\sin 1}{\cos 1}, então
    \operatorname{sec} 1\tan 1 = \frac{\sin 1}{\cos^{2} 1}, \qquad \ln\big(\operatorname{sec} 1+\tan 1\big)=\ln\!\left(\frac{1+\sin 1}{\cos 1}\right).
    • Em x=0: \operatorname{sec} 0=1, \tan 0=0, então \operatorname{sec} 0\tan 0=0 e \ln(\operatorname{sec} 0+\tan 0)=\ln 1=0.
  • Portanto
\int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{3} x\, dx = \tfrac{1}{2}\left(\frac{\sin 1}{\cos^{2} 1} + \ln\!\left(\frac{1+\sin 1}{\cos 1}\right)\right).

Passo 10

Resumo final e dica de prova:
  • A região é o quadrado unitário [0,1]\times[0,1].
  • A integral dupla reduz-se à integral em x porque a integranda não depende de y.
  • Use integração por partes e a identidade \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 para obter a primitiva.
  • Resultado final pronto para escrever na sua prova.

Resposta

\tfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\sin 1}{\cos^{2} 1} + \ln\!\left(\dfrac{1+\sin 1}{\cos 1}\right)\right)

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