Lembre que uma função
é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
para quaisquer
.
Dentre as seguintes funções de
em
, marque todas que são transformações lineares. Uma alternativa errada anula uma correta.
D) a função identicamente nula (i.e.,
para todo
)
Dentre as seguintes funções de
D) a função identicamente nula (i.e.,
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos quais funções f: R → R satisfazem a propriedade f(a x + b y) = a f(x) + b f(y), ou seja, são transformações lineares.
Passo 2
No caso da função identicamente nula, f(x) = 0 para todo x, temos f(a x + b y) = 0. Por outro lado, a + b vezes f(x) e f(y) dá a f(x) + b f(y) = a·0 + b·0 = 0. Como os dois lados coincidem para quaisquer a, b, x, y, a função nula preserva combinações lineares.
Resposta
A alternativa D está correta; a função identicamente nula é uma transformação linear.