1. Sejam \vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e}
\vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0
Calcular:
a) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t)+\vec{g}(t)]
b) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t)-\vec{g}(t)]
c) \lim _{t \rightarrow 1}\left[3 \vec{f}(t)-\frac{1}{2} \vec{g}(t)\right]
d) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t) \cdot \vec{g}(t)]
e) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t) \times \vec{g}(t)]
f) \quad \lim _{t \rightarrow 1}[(t+1) \vec{f}(t)]

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais \displaystyle \vec f(t)=t\,\vec i+2t^2\,\vec j+3t^3\,\vec k \displaystyle \vec g(t)=2t\,\vec i+\vec j-3t^2\,\vec k para t\ge0, e pede limites de combinações lineares, produto escalar, produto vetorial e escalação. Como são polinômios em t, tudo é contínuo, então basta avaliar em t=1.

Passo 2

Calcular \vec f(1) e \vec g(1):
\vec f(1)=1\,\vec i+2\cdot1^2\,\vec j+3\cdot1^3\,\vec k =(1,2,3),
\vec g(1)=2\cdot1\,\vec i+\vec j-3\cdot1^2\,\vec k =(2,1,-3).

Passo 3

(a) \displaystyle \lim_{t\to1}[\vec f(t)+\vec g(t)] =\vec f(1)+\vec g(1) =(1,2,3)+(2,1,-3) =(3,3,0).

Passo 4

(b) \displaystyle \lim_{t\to1}[\vec f(t)-\vec g(t)] =\vec f(1)-\vec g(1) =(1,2,3)-(2,1,-3) =(-1,1,6).

Passo 5

(c) \displaystyle \lim_{t\to1}\bigl[3\vec f(t)-\tfrac12\vec g(t)\bigr] =3\vec f(1)-\tfrac12\vec g(1) =3(1,2,3)-\tfrac12(2,1,-3) =(3,6,9)-(1,\tfrac12,-\tfrac32) =(2,\tfrac{11}{2},\tfrac{21}{2}).

Passo 6

(d) \displaystyle \lim_{t\to1}[\vec f(t)\cdot\vec g(t)] =\vec f(1)\cdot\vec g(1) =(1,2,3)\cdot(2,1,-3) =1\cdot2+2\cdot1+3\cdot(-3) =2+2-9 =-5.

Passo 7

(e) \displaystyle \lim_{t\to1}[\vec f(t)\times\vec g(t)] =\vec f(1)\times\vec g(1).
Usando determinante,
\vec f(1)\times\vec g(1) =\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\\ 1&2&3\\\ 2&1&-3\end{vmatrix} =-9\,\vec i+9\,\vec j-3\,\vec k =(-9,9,-3).

Passo 8

(f) \displaystyle \lim_{t\to1}[(t+1)\vec f(t)] =(1+1)\vec f(1) =2\,(1,2,3) =(2,4,6).

Resposta

(a) (3,3,0)
(b) (-1,1,6)
(c) \bigl(2,\tfrac{11}{2},\tfrac{21}{2}\bigr)
(d) -5
(e) (-9,9,-3)
(f) (2,4,6)

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