Sejam
\vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e}
\vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0
Calcular:
\lim _{t \rightarrow 0}[\vec{f}(t) \times \vec{g}(t)].

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{f}(t)=t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k}, \quad \vec{g}(t)=2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k},
e pede o limite do produto vetorial \vec{f}(t)\times\vec{g}(t) quando t\to0. O conteúdo envolve definição de produto vetorial em \mathbb{R}^3 e cálculo de limite de cada componente.

Passo 2

Em coordenadas:
\vec{f}(t)=(t,\;2t^{2},\;3t^{3}), \quad \vec{g}(t)=(2t,\;1,\;-3t^{2}).
O produto vetorial é dado por
\vec{f}\times\vec{g} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\\\ g_{1}&g_{2}&g_{3} \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculando cada componente:
(\vec{f}\times\vec{g})_{x} =f_{2}g_{3}-f_{3}g_{2} =2t^{2}\cdot(-3t^{2})-3t^{3}\cdot1 =-6t^{4}-3t^{3},
(\vec{f}\times\vec{g})_{y} =-(f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}) =-\bigl(t\cdot(-3t^{2})-3t^{3}\cdot2t\bigr) =3t^{3}+6t^{4},
(\vec{f}\times\vec{g})_{z} =f_{1}g_{2}-f_{2}g_{1} =t\cdot1-2t^{2}\cdot2t =t-4t^{3}.
Logo
\vec{f}(t)\times\vec{g}(t) =\bigl(-3t^{3}-6t^{4},\;3t^{3}+6t^{4},\;t-4t^{3}\bigr).

Passo 4

Agora tomamos o limite t\to0 componente a componente:
\lim_{t\to0}(-3t^{3}-6t^{4})=0, \quad \lim_{t\to0}(3t^{3}+6t^{4})=0, \quad \lim_{t\to0}(t-4t^{3})=0.
Portanto o limite do vetor é o vetor nulo.

Resposta

\lim_{t\to0}\bigl[\vec{f}(t)\times\vec{g}(t)\bigr] =\vec{0}.

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