Sejam \vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e} \vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0 Calcular: \lim _{t \rightarrow 0}[\vec{f}(t) \times \vec{g}(t)]. Passo 1O enunciado dá os vetores \vec{f}(t)=t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k}, \quad \vec{g}(t)=2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k}, e pede o limite do produto vetorial \vec{f}(t)\times\vec{g}(t) quando t\to0. O conteúdo envolve definição de produto vetorial em \mathbb{R}^3 e cálculo de limite de cada componente. Passo 2Em coordenadas: \vec{f}(t)=(t,\;2t^{2},\;3t^{3}), \quad \vec{g}(t)=(2t,\;1,\;-3t^{2}). O produto vetorial é dado por \vec{f}\times\vec{g} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\\\ g_{1}&g_{2}&g_{3} \end{vmatrix}. Passo 3Calculando cada componente: (\vec{f}\times\vec{g})_{x} =f_{2}g_{3}-f_{3}g_{2} =2t^{2}\cdot(-3t^{2})-3t^{3}\cdot1 =-6t^{4}-3t^{3}, (\vec{f}\times\vec{g})_{y} =-(f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}) =-\bigl(t\cdot(-3t^{2})-3t^{3}\cdot2t\bigr) =3t^{3}+6t^{4}, (\vec{f}\times\vec{g})_{z} =f_{1}g_{2}-f_{2}g_{1} =t\cdot1-2t^{2}\cdot2t =t-4t^{3}. Logo \vec{f}(t)\times\vec{g}(t) =\bigl(-3t^{3}-6t^{4},\;3t^{3}+6t^{4},\;t-4t^{3}\bigr). Passo 4Agora tomamos o limite t\to0 componente a componente: \lim_{t\to0}(-3t^{3}-6t^{4})=0, \quad \lim_{t\to0}(3t^{3}+6t^{4})=0, \quad \lim_{t\to0}(t-4t^{3})=0. Portanto o limite do vetor é o vetor nulo. Resposta \lim_{t\to0}\bigl[\vec{f}(t)\times\vec{g}(t)\bigr] =\vec{0}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSejam \vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e} \vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0 Calcular: \quad \lim _{t \rightarrow 1}[(t+1) \vec{f}(t)] Sejam \vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e} \vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0 Calcular: \quad \lim _{t \rightarrow 1}[(t+1) \vec{f}(t)] Sejam \vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e} \vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0 Calcular: a) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t)+\vec{g}(t)] b) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t)-\vec{g}(t)] c) \lim _{t \rightarrow 1}\left[3 \vec{f}(t)-\frac{1}{2} \vec{g}(t)\right] d) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t) \cdot \vec{g}(t)] e) \lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t) \times \vec{g}(t)] f) \quad \lim _{t \rightarrow 1}[(t+1) \vec{f}(t)] Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por: a) \vec{f}(t)=t \vec{i}+\left(2 t^{2}-1\right) \vec{j} b) \vec{g}(t)=\frac{2}{t} \vec{i}+\frac{2}{t+1} \vec{j}, t>0 c) \vec{h}(t)=t \vec{i}+\vec{j}+4 t^{2} \vec{k} d) \vec{v}(t)=\ln t \vec{i}+t \vec{j}+\vec{k}, t>0